Hiperbolična trigonometrija

Hiperbolična trigonometrija ima svoju ulogu u geometriji Lobačevskog. Koristi se za proučavanje otpornosti materijala, u elektrotehnici, statičkim proračunima visećih mostova u građevinarstvu i drugim granama nauke. U matematici se hiperbolične funkcije koriste, na primer, za rešavanje integrala gde se pojavljuje za razliku od oblika gde se koristi obična, tj. ravninska trigonometrija.

Hiperbolične funkcije uredi

Hiperbolične funkcije je uveo u upotrebu italijanski matematičar Vinčenco Rikati (Vincenzo Riccati, 1707-1775). On je koristio oznake Sh. i Ch. za hiperbolni sinus i kosinus. Teoriju je dalje razvio Lambert (Johann Heinrich Lambert, 1728-1777. Histoire de l'académie Royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, tom. XXIV, str. 327 (1768)), negde oko 1771, upotrebljavajući sinh i cosh. Kod nas se za hiperbolne funkcije koriste oznake sh x, ch x, th x, cth x, sech x, cosech x, ali ovde sledimo skraćenice koje podržava Vikipedijin softver, tj. Lateh, a to su uobičajene anglosaksonske oznake.

Definicija hiperboličnih funkcija uredi

Sinus hiperbolični, kosinus hiperbolični i tangens hiperbolični određeni su formulama:

 
 
 

Kotangens hiperbolični, sekans hiperbolični i kosekans hiperbolični su recipročne vrednosti:

 
 
 

Geometrijsko određivanje hiperboličnih funkcija analogno je određivanju trigonometrijskih funkcija sinus, kosinus, tangens (v. ravninska trigonometrija).

Geometrijsko određivanje uredi

U trigonometrijskom krugu definisane su funkcije   kao odsečci BC, OB, AD (poluprečnik r=1), a ugao α je centralni ugao AOC. Isti ugao smo mogli definisati i kao površinu Pk dvostrukog kružnog isečka COK (sl.6. šrafirano).

Naime, kada je ugao AOC, tj. α u radijanima, tada dvostruki centralni isečak COK ima površinu   Uzimajući analognu funkciju površine, ali ne za kružnicu   nego za istostranu hiperbolu   i označavajući sa   površinu analognog sektora COK (šrafirano na sl.7.), definišemo hiperbolne funkcije: sh x = BC, ch x = OB, th x = AB, odnosno istim redom sinh x, cosh x, tanh x, tj. sinus, kosinus i tangens hiperbolni.

Kada površinu h izračunamo (v. određeni integral) dobijamo izraze za BC, OB, AD:

 
 

dakle za hiperbolne funkcije dobijamo prethodno navedene izraze u eksponencijalnom obliku:

 
 
 

Trigonometrijske veze uredi

 
 
 
 

Svaka formula koja povezuje hiperbolične funkcije argumenta h ili ah, ali ne ax+b, može se dobiti iz odgovarajuće formule koja povezuje obične trigonometrijske funkcije ugla z zamenom   sa   i zamenom   sa   Na primer:

  prelazi u  
  prelazi u  

Osnovne formule uredi

Za hiperbolne funkcije vrede formule analogne formulama za funkcije obične trigonometrije.

Funkcije jednog argumenta uredi

 
 
 

Međusobno izražavanje uredi

 
 
 
 

Zbir i razlika argumenata uredi

 
 
 

Funkcije dvostrukog argumenta uredi

 
 

Moavrova hiperbolična formula uredi

 

Funkcije polovine argumenta uredi

  + za x>0, - za x<0,
 
 

Zbir i razlika funkcija uredi

 
 
 
 

Inverzne (Area) funkcije uredi

Nazivi area-sinus, area-kosinus, area-tangens i area-kotangens potiču od reči area (površina) jer area-funkcije možemo predstaviti površinom hiperboličnog sektora. One su inverzne funkcijama sinus hiperbolni, kosinus hiperbolni, tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni, tj. ako je   tada je   itd:

  area-sinus, ako je  
  area-kosinus, ako je  
  area-tangens, ako je  
  area-kotangens, ako je  

Izražavanje logaritmima uredi

 
 
 
 

Međusobno izražavanje inverznih uredi

 
 
 
 

Uz indeks * ide predznak + za h pozitivno, - za h negativno.

Odnosi među inverznim uredi

 
 
 

Povezano uredi