Podgrupa
U teoriji grupa, za datu grupu G u odnosu na binarnu operaciju *, kažemo da je neki podskup H od G podgrupa od G ako H takođe gradi grupu u odnosu na operaciju *. Preciznije, H je podgrupa G ako je restrikcija * na H operacija grupe na H.
Prava pogrupa grupe G je podgrupa H, koja je pravi podskup od G (t. j. H ≠ G). Trivijalna podgrupa bilo koje grupe je podgrupa {e} koja se sastoji samo od neutrala. Ako je H podgrupa od G, ponekad se kaže da je G nadgrupa od H.
Iste definicije važe u opštijem obliku kada je G proizvoljna polugrupa, ali ovaj članak se bavi samo podgrupama grupa. Grupa G se ponekad označava uređenim parom (G,*), obično da naglasi operaciju * kada G nosi više algebarskih ili drugih struktura.
U ostatku članka ćemo koristiti uobičajenu konvenciju izostavljanja simbola * i pisanja proizvoda a*b jednostavno kao ab.
Osnovna svojstva podgrupa
uredi- H je podgrupa grupe G ako i samo ako je neprazna i zatvorena za proizvod i inverze. (Zatvorenost znači sledeće: kad god su a i b unutar H, tada je i ab i a−1 su takođe unutar H. Ova dva uslova mogu da se spoje u jedan ekvivalentan uslov: kad god su a i b unutar H, tada je i ab−1 unutar H.) U slučaju kada je H konačno, tada je H podgrupa ako i samo ako je H zatvoreno u odnosu na proizvode. (U ovom slučaju, svaki element a iz H generiše konačnu cikličnu podgrupu od H, i inverz od a je tada a−1 = an − 1, gde je n red od a.
- Gornji uslov se može izreći u terminima homomorfizama; to jest, H je podgrupa grupe G ako i samo ako je H podskup od G i postoji inkluzioni homomorfizam (t. j., i(a) = a za svako a) iz H u G.
- Neutral podgrupe je neutral grupe: ako je G grupa sa neutralom eG, i H je podgrupa od G sa neutralom eH, tada je eH = eG.
- Inverz elementa podgrupe je inverz elementa grupe: ako je H podgrupa od G, i a i b su elementi iz H, takvi da ab = ba = eH, tada ab = ba = eG.
- Presek podgrupa A i B grupe G je takođe podgrupa. Unija A i B je podgrupa ako i samo ako ili A sadrži B ili obratno, jer na primer 2 i 3 su u uniji 2Z i 3Z ali njihova suma 5 nije.
- Ako je S podskup od G, tada postoji minimalna podgrupa koja sadrži S, koja se može naći uzimanjem preseka svih podgrupa koje sadrže S; ovo se označava sa <S> i naziva se podgrupom generisanom sa S. Element iz G je unutar <S> ako i samo ako je konačan proizvod elemenata S i njihovih inverza.
- Svaki element a iz grupe G određuje (generiše) cikličnu podgrupu <a>. Ako je <a> izomorfno sa Z/nZ za neki pozitivan ceo broj n, onda je n najmanji pozitivan ceo broj za koji an = e, i n se naziva redom od a. Ako je <a> izomorfno sa Z, tada se kaže da je a beskonačnog reda.
Primer
urediNeka je G Abelova grupa čiji su elementi
- G={0,2,4,6,1,3,5,7}
i čija je operacija grupe sabiranje po modulu osam. Njena Kejlijeva tabela je
| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
| 4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| 3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
| 7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Ova grupa ima par netrivijalnih podgrupa: J={0,4} i H={0,2,4,6}, gde je J takođe podgrupa od H. Kajlijeva tabela za H je gornji levi kvadrant Kajlijeve tabele za G. Grupa G je ciklična, pa su i njene podgrupe ciklične. Uopšteno, podgrupe cikličnih grupa su ciklične..
Koseti i Lagranžova teorema
urediAko je data podgrupa H i neko a iz G, definišemo levi koset aH = {ah : h iz H}. Kako je a inverzibilno, preslikavanje φ : H → aH definisano kao φ(h) = ah je bijekcija. Štaviše, svaki element iz G se nalazi u tačno jednom levom kosetu od H; levi koseti su klase ekvivalencije u odnosu na relaciju ekvivalencije a1 ~ a2 ako i samo ako je a1−1a2 u H. Broj levih koseta H se naziva indeksom H u G, i označava se sa [G : H].
Lagranžova teorema glasi da za konačnu grupu G i njenu podgrupu H,
![{\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c61f274e8d6013b12584f84728208c5974aa)
gde red(G) i red(H) označavaju redove od G i H. Red svake podgrupe od G (i red svakog elementa G) obavezno deli red(G).
Desni koseti su definisani analogno: Ha = {ha : h u H}. Oni su takođe klase ekvivalencije za odgovarajuću relaciju ekvivalencije, i njihov red je jednak [G : H].
Ako je aH = Ha za svako a iz G, tada se kaže da je H normalna podgrupa. Svaka podgrupa indeksa 2 je normalna: levi i desni koseti su jednostavno podgrupa i njen komplement.