Za stilsku figuru, pogledajte Elipsa (književnost)
Elipsa (starogrč. ἔλλειψις , nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni , koja se može defniisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja od dve fiksirane tačke uvek jednak. Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse , a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.
Vrste konusnih presjeka (kružnica , elipsa, parabola i hiperbola )
Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra.
Ose elipse su prave koje sadrže njene prečnike. Prva prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu.
Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug .
Analitička definicija
uredi
Analitički posmatrano, elipsa je kriva drugog reda :
f
(
x
,
y
)
=
α
11
x
2
+
2
α
12
x
y
+
α
22
y
2
+
2
α
13
x
+
2
α
23
y
+
α
33
=
0
{\displaystyle f(x,y)=\alpha _{11}x^{2}+2\alpha _{12}xy+\alpha _{22}y^{2}+2\alpha _{13}x+2\alpha _{23}y+\alpha _{33}=0\,}
(opšta jednačina krive drugog reda)
Koja zadovoljava sledeće uslove:
Δ
=
|
α
11
α
12
α
13
α
12
α
22
α
23
α
13
α
23
α
33
|
≠
0
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{13}&\alpha _{23}&\alpha _{33}\end{vmatrix}}\neq 0}
δ
=
|
α
11
α
12
α
12
α
22
|
>
0
{\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}\\\end{vmatrix}}>0}
Za realnu elipsu:
T
⋅
Δ
=
(
α
11
+
α
22
)
⋅
Δ
<
0
{\displaystyle T\cdot \Delta =(\alpha _{11}+\alpha _{22})\cdot \Delta <0}
Za imaginarnu elipsu (prazan skup):
T
⋅
Δ
>
0
{\displaystyle T\cdot \Delta >0}
Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama dekartovog koordinatnog sistema , ova jednačina izgleda ovako:
α
11
x
2
+
α
22
y
2
−
α
33
=
0
{\displaystyle \alpha _{11}x^{2}+\alpha _{22}y^{2}-\alpha _{33}=0\,}
Što se može zapisati i kao
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
U ovoj jednačini su a i b u stvari veličine poluprečnika elipse.
Površina elipse je:
P
=
a
b
π
{\displaystyle P=ab\pi }
gde su a i b poluprečnici elipse, a pi matematička konstanta.
Ekscentricitet je konstanta karakterisitična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:
e
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
gde su a i b dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sa c označi rastojanje između fokusnih tačaka elipse, e će biti:
e
=
c
a
{\displaystyle e={\frac {c}{a}}}
Obim elipse se može predstaviti na razne načine:
Beskonačni redovi:
O
=
2
π
a
[
1
−
(
1
2
)
2
e
2
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
e
4
3
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
e
6
5
−
…
]
{\displaystyle O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,}
Što je isto što i:
O
=
2
π
a
∑
n
=
0
∞
{
−
[
∏
m
=
1
n
(
2
m
−
1
2
m
)
]
2
e
2
n
2
n
−
1
}
{\displaystyle O=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }}
Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravio Ramanudžan :
O
≈
π
[
3
(
a
+
b
)
−
(
3
a
+
b
)
(
a
+
3
b
)
]
{\displaystyle O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}
Koja se takođe može zapisati kao:
O
≈
π
a
[
3
(
1
+
1
−
e
2
)
−
(
3
+
1
−
e
2
)
(
1
+
3
1
−
e
2
)
]
{\displaystyle O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,}
U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi:
O
≈
π
a
(
9
−
35
)
/
2
{\displaystyle O\approx \pi a(9-{\sqrt {35}})/2\!\,}