Skalarni proizvod vektora

Skalarni proizvod vektora je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V, zapis ove operacije je sledeći:

Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:

Pri čemu su u, v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj.

Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora

Skalarni proizvod vektora i se definiše na sledeći način:

Pri tom su i intenziteti tih vektora, određenih sledećim koordinatama:

i

Primer skalarnog množenja vektora (1, 3, −5) i (4, −2, −1) u trodimenzionalnom prostoru:

DokazUredi

Formula :  se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:

Ako je  , ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:

 

Pošto je   jednak  , sledi:

 

Odakle se nalazi:

 
 

Odatle se dobija konačna formula:

 

Ortogonalni vektoriUredi

Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori   i   uzajamno normalni dobija se:

 .

Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.

OsobineUredi

Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:

 

 

  • u opštem slučaju nije asocijativan
  • za njega važi sledeće:

 

Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektoraUredi

Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.

Pošto je:

 

Za specijalan slučaj kada je   jednakost prelazi u:  

Na osnovu toga se zaključuje:
 

Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.

Primena u fiziciUredi

Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj. Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja:

 

Geometrijska interpretacijaUredi

Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.

     

Vidi jošUredi

LiteraturaUredi

  • Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd