Normala na površinu

Normala je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivulju, normala na površinu i sl.)

Pravi ugaoUredi

Ako imamo dvije normalne prave   i   i uglove koje one čine α1; α2; α3 i α4,. U simetriji sb preslikavaugao α1 na α4, ugao α2; na α3. Iz ovog zaključujemo da je α1 = α4 i α2 = α3.

Definicija 1

Svaki od uglova koje čine normalne prave je pravi ugao.

Teorema 1

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne na treću pravu u toj ravni su paralelne prave.

Definicija 2

Tačka X0, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a. Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.

Normalne 2 praveUredi

Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su   i   dvije mimosmjerna prave. Odaberimo jednu tačku   na pravoj  . Kroz tu tačku prolazi tačno jedan prava paralelna s pravcom   (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo tu pravu sa  . Kažemo da su pravci   i   su norrmalne ako su prave   i   normalne.Pišemo  .

Normalnost prave i ravniUredi

Kažemo da je prava   normalna na ravan   ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

Normalnost dvije ravniUredi

Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku   i datu ravan   postoji jedinstvens prava kroz   koja je normalna na ravan  

Definicija

Ortogonalna projekcija tačke   na ravan   je probodište ravni   i prave   koja prolazi kroz   i normalna je na  .

Teorema o tri normaleUredi

Ako je ortogonalna projekcija   prave   na ravan   normalna na neku pravu   te ravni, onda je i prava   normalna na  .

Vrijedi i obratno

Ako je prava   normalna na  , onda je   normalna na  .

Normala na krivuljuUredi

Normalom na krivulju   u točki   nazivamo pravac koji prolazi kroz točku   i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca - tangente, to je jednadžba normale

 

uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki  , tj.  

Ukoliko je  , tada je jednadžba normale  , tj. normala je očito paralelna s  -osi.

Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu - normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće uvijek gleda "van" krivulje.

Tangenta na površinuUredi

 
Vektorsko polje normala na površinu

Vektor normale na površinu u točki   je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki  . U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera.

Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata  , gdje su   i   realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

 

Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom

 

u točki   dana je gradijentom:

 

IznimkeUredi

Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija   nema definiranu normalu u ishodištu.

JedinstvenostUredi

Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer - vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orjentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, "gleda prema van".

Vanjske vezeUredi