Stožac

Kupa (stožac, ili konus) je geometrijsko telo. Može se definisati kao geometrijsko mesto tačaka koje čini sve duži između elipse, koja se nalazi u jednoj ravni, i tačke, koja se nalazi izvan te ravni. Ova elipsa se još naziva baza kupe, a tačka njeno teme.

Prava koja prolazi kroz teme i centar baze kupe se naziva njenom osom. Ukoliko je ova prava i normalna na bazu kupe, kupa se naziva pravom. U suprotnom se radi o kosoj kupi.

Rastojanje između temena kupe, i njegove projekcije na ravan baze kupe se naziva visinom kupe.

Svaka duž koja spaja teme i neku od ivičnih tačaka baze se naziva izvodnicom kupe. Kod prave kupe sve izvodnice imaju jednaku dužinu dok kod kose kupe postoje najviše dve izvodnice sa istom dužinom.

Površina kupe uredi

Površina kupe se uvek računa kao zbir površina njenog omotača i njene baze. Omotač kupe je skup svih duži koje spajaju teme kupe sa ivicom osnovice kupe. U slučaju da je baza krug, njegova ivica bi bila kružnica.

Površina prave kružne Kupe uredi

Razmotavanjem omotača prave kupe se može ustanoviti da se radi o odsečku kruga, koji za poluprečnik ima dužinu s izvodnice kupe. Pokriveni ugao se prema punom krugu (tj. 2π) odnosi kao obim baze kupe prema obimu kruga sa poluprečnikom s, što bi dalo sledeći izraz:

$S_{o}=s^{2}\pi \cdot {\frac {2\pi r}{2\pi s}}=s^{2}\pi \cdot {\frac {r}{s}}=rs\pi$

Površina baze je površina kruga poluprečnika r, što iznosi S_b = r²π. Zbir ove dve vrednosti daje površinu kupe:

$S=S_{o}+S_{b}=rs\pi +r^{2}\pi =r\pi (s+r)$

Zapremina kupe uredi

Zapremina kupe se uvek može predstaviti kao trećina proizvoda površine njene baze sa rastojanjem temena od ravni u kome se nalazi baza. Ovo rastojanje se još zove i visina kupe.

$V={\frac {1}{3}}P_{b}h$

Primer može biti kružna kupa kod koje je P_b = r²π. Iz prethodnog izraza sledi da je zapremina ove kupe:

$V={\frac {1}{3}}P_{b}h={\frac {1}{3}}r^{2}\pi h$

Zapremina kose i prave eliptične kupe se razlikuje samo u bazi:

$V={\frac {1}{3}}P_{b}h={\frac {1}{3}}ab\pi h$