Za ostala značenja, vidi Gradijent (razvrstavanje).

U vektorskoj analizi, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje u pravcu najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnom i bijelom područijem, s tim da crna odgovara većim vrijednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta

uredi

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem  , tako da je u svakoj tački   temperatura   (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smijer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamislimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smijeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Na primjer, ako je ugao između ceste u prvca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, što se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicija

uredi

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije   po vaktorskoj varijabli   se označava kao   ili   gdje je   (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka   se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije  . To jest:

 

Skalarni proizvod   gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradientno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnom teoremom. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije

uredi

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

 

U cilindričnim koordinatama:

 

(gdje je   azimutalni ugao, a   je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

 

(gdje je   azimutalni ugao, a   je zenitni ugao).

Primjer

uredi

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

 

je:

 

Gradijent i izvod ili diferencijal

uredi

Linearna aproksimacija funkcije

uredi

Gradijent funkcije   iz Euklidovog prostora   u   i bilo kojoj tački x0 u   karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x0. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

 

za   koje je blizu  , gdje je   gradijent funkcije f izračunat u  , gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu  .

Povezano

uredi

Izvori

uredi
  1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. str. 157-160. ISBN 0-486-41147-8.