Otvori glavni meni
Disambig.svg Za ostala značenja, v. Funkcija (razvrstavanje).

Funkcija je, uopšte, pravilo pridruživanja jednog elementa iz skupa H (domen funkcije) drugom iz skupa U (kodomen funkcije). Za zapisivanje funkcija koristimo oznake kao što je ili a prirodu skupova koji učestvuju opisujemo frazama kakva je na primer: funkcija realne promenljive. Opseg, raspon ili područje definicije funkcije f je skup vrednosti, f(x), za x iz domena f.

DefinicijeUredi

Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematike. Posebno pogledajte: Analitička funkcija, Grafik funkcije, Neprekidna funkcija, Trigonometrijske funkcije, Hiperboličke funkcije. Definicija funkcije kao promenljive veličine je nesavršena jer se pri tome koristi nestrogi pojam promenljive veličine i zato se obično koristi savremeniji pristup ovom problemu preko teorije skupova.

Analitička definicijaUredi

Ako dve promenljive količine stoje u takvoj vezi da se menjanjem vrednosti jedne količine menja vrednost i druge, onda je druga funkcija prve.

Osnovna karakteristika funkcije je da za jednu ulaznu vrednost dobija najviše jedna izlazna vrednost.

Funkcija može imati više promenljivih.

Definicije iz teorije skupovaUredi

Skup se u matematici uzima za osnovni pojam. Dekartov proizvod skupova je skup uređenih parova. Uređeni par elemenata čine bilo kakva dva elementa kod kojih se, iz bilo kojih razloga, zna koji od njih je prvi, a koji drugi. Zatim, relacija (matematika) je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova, i konačno, funkcija je jedna vrsta relacije, slika desno. Na slici desno, pre svega, data je relacija   Zašto takvu relaciju nazivamo i funkcija?

Definicija
Neka su A i B neprazni skupovi. Tada se binarna relacija   zove funkcija ili preslikavanje iz A u B, ako važi  

Poslednji izraz je formula napisana pomoću kvantora svaki (obrnuto slovo A) i postoji tačno jedan (obrnuto E sa uzvičnikom) koja se čita: "za svako iks iz A postoji tačno jedno ipsilon iz Be takvo da je y=f(x)". To znači da na grafu, desno, iz svakog od elemenata skupa   polazi po tačno jedna strelica, koja predstavlja (po tačno jedan) uređeni par (za svako od slova  ) Drugim rečima, funkcija je takva vrsta relacije gde je svaki elemenat jednog od skupova tačno po jednom prvi.

Druga, ekvivalentna definicija: binarna relacija f iz A u B je funkcija ako je

 

Ova definicija postavlja isti kriterijum: ako su originali jednaki (h=h) tada su i kopije jednake (y=z). Dakle, ne može isti original proizvesti različite kopije!

Elementi skupa A nazivaju se argumenti, nezavisno promenljive, originali preslikavanja, likovi, ili elementi domena. Skup A je skup prvih elemenata uređenih parova, na grafu to je polazni skup strelice, naziva se domen, područje vrednosti (rang), itd. funkcije f. Skup B naziva se kodomen (kontradomen) funkcije, skup kopija, slika, itd. Često se domen funkcije f označava sa  , a kodomen ponekad   Na navedenom grafu je   i f je funkcija sa A u B, što pišemo   ili   Često umesto   stavljamo  , pa je  

Definicija
Funkcija   zove se surjekcija, ili "na"-preslikavanje, ako je  

Pomoću kvantora tu istu definiciju pišemo:   Jednostavnije rečeno, funkcija je surjekcija ako i samo ako su svi elementi desnog skupa (B) nečije slike. Na gornjem grafu ka elementu γ ne ide niti jedna strelica. Prema tome, data funkcija nije surjekcija. Surjekcija po definiciji dozvoljava „duple kopije“.

Definicija
Funkcija   zove se injekcija, ili "1-1"-preslikavanje, ako važi  

To je definicija po formi obrnuta onoj drugoj definiciji funkcije: ista kopija ne može biti rezultat kopiranja različitih originala. Na datom grafu, elemenat β je kopija dva originala i prema tome data funkcija f nije injekcija. Injekcija po definiciji dozvoljava da u skupu kopija postoje elementi koji uopšte nisu rezultat preslikavanja.

Definicija
Funkcija koja je surjekcija i injekcija zove se bijekcija.

Bijekciju nazivamo i obostrano jednoznačno preslikavanje.

Teškoće prve teorije skupovaUredi

Bijekcija je odigrala važnu ulogu u razmatranju pojma beskonačnosti i njemu srodnih pojmova. Ako postoje dva skupa i makar jedna funkciju među njima koja je bijekcija onda ta dva skupa imaju isti broj elemenata. To znači da ako za dva beskonačna skupa, recimo brojeva, pronađemo bar jedno bijektivno preslikavanje među njima, tada kažemo da oni imaju jednako mnogo elemenata. To je jedna od osnovnih ideja osnivača teorije skupova Kantora i Dedekinda.

Početnu ideju skupova je ubrzo, početkom 20. veka, uzdrmao britanski matematičar i filozof, Bertran Rasel, našavši nekoliko nedoslednosti u Kantorovoj teoriji. Danas se te nedoslednosti obično nazivaju paradoksima teorije skupova. Rasel je ukazao na paradoks praznog skupa, koji je razrešen zahtevom da je prazan skup podskup svakog skupa. Njegov drugi paradoks je paradoks skupa svih skupova. Ideja skupa svih skupova je kontradiktorna, tako da današnja teorija skupova, jednostavno, ne zahteva postojanje sveobuhvatnog, "univerzalnog skupa".

Ispitivanje toka funkcijeUredi

Ispitati tok funkcije   znači oidrediti sljedeće

Područje definicijeUredi

Za određivanje područja definicije funkcije   potrebno je poznavati elementarne funkcije

ParnostUredi

Parnost funkcije   provjerava se pomoću definicije:

Funkcija   je parna ako je   za svaki  , a neparna ako je  ) za svaki  .

Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak  .

Primjer

 

je parna za   paran, a neparna za   neparan pa je:

 .

Funkcija   je parna: ako je  , tada je   pa vrijedi

 

Za   je   pa vrijedi

 

PeriodičnostUredi

Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije

Funkcija   je periodična ako postoji broj   takav da za svaki   vrijedi
 

Tada mora vrijediti  . Najmanji takav pozitivni broj   osnovni period ili period funkcije  .

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

Nula funkcijeUredi

Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine  

Asimptote funkcijeUredi

Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i L'Hospitalovim pravilo, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli  ) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava   je vertikalna asimptota funkcije  u tački   s lijeve strane ako je   ili  .

Prava   je vertikalna asimptota funkcije   u tacki   s desne strane ako je

  ili

 .

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primjer

Prava   je vertikalna asimptota funkcije   s obje strane.

Prava   je vertikalna asimptota funkcija  ,   i   s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na lijevoj strani ako je  . Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na desnoj strani ako je  .

Primjer

Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na obje strane, kao i   horizontalna asimptota funkcija   i   na lijevoj strani.

Ako je

 

pri čemu je

  tada je prava   kosa asimptota funkcije   sa lijeve strane.

Kosu asimptotu funkcije   sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je  . Prema definiciji asimptote   kada  . Kako je   konstanta, zaključujemo da  .

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

  je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

 .

  pa je

 .

Pri tome treba voditi računa o sljedećem:

  1. kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada   i kada
  2. asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu,   uvijek treba računati posebno
  3. treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada  ,
Primjer

 .

Ekstremi funkcijeUredi

Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.

Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi

Neka je funkcija   neprekidna u tački  . Ako funkcija   ima lokalni ekstrem u tački  , tada je   kritična tačka funkcije  .

Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija   neprekidna u tački  . Tačka   je stacionarna tačka funkcije   ako je  . Tačka   je kritična tačka funkcije   ako je   stacionarna tačka ili ako   nije diferencijabilna u tački  .

Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda   i riješiti jednačinu  . Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:

pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme

Ako prvi izvod   mijenja predznak u kritičnoj tački  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tački  . Pri tome vrijedi sljedeće
ako   mijenja predznak sa   na  , tada je   lokalni minimum, a ako   mijenja predznak sa   na  , tada je   lokalni maksimum.

pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme

Neka je u stacionarnoj tački   funkcija   dva puta diferencijabilna. Ako je  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tacki  . Pri tome vrijedi sljedeće
ako je  , tada je   lokalni minimum, a ako je  , tada je   lokalni maksimum.

pomoću viših izvoda na osnovu teoreme

Neka funkcija   ima u nekoj   -okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda  , pri čemu je  .
Neka je  
Ako je   neparan, tada funkcija   ima infleksiju u tački  . Ako je   paran i ako je uz to još i  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tački   i to minimum za   i maksimum za  .

Intervali monotonostiUredi

Posto smo načli prvi izvod   funkcije   intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od   na osnovu teoreme

Neka je funkcija   diferencijabilna na intervalu  . Tada vrijedi
  1. funkcija   je rastuća na intervalu   ako i samo ako je   za svaki  
  2. Funkcija   je opadajuća na intervalu   ako i samo ako je   za svaki  
  3. Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo rastuća na intervalu  
  4. Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo opadajuća na intervalu  .

Konkavnost i konveksnost funkcijeUredi

Potrebno je odrediti drugi izvod  ,a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme

Neka je funkcija   dva puta deiferencijabilna na intervalu  . Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo konveksna na intervalu  . Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo konkavna na intervalu  .

Tačke infleksijeUredi

Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod   mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi

Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj   -okolini tačke  , osim možda u tački  . Ako   mijenja predznak u tački  , tada funkcija   ima infleksiju u tački  .

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme

Neka funkcija   ima u nekoj   - okolini tačke   neprekidne izvode do uključivo reda  , pri čemu je  . Neka je
 
Ako je   neparan, tada funkcija   ima infleksiju u tački  .
Ako je   paran i ako je uz to još i  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tacki   i to minimum za   i maksimum za  .

U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod   jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi

Ako funkcija   ima infleksiju u tački   i ako   postoji, tada je  .

Graf funkcijeUredi

Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

Eksterni linkoviUredi