Laplasov operator, u matematici, je eliptički diferencijalni operator drugog reda. Ima brojne primene širom matematike, te u fizici, elektrostatici, kvantnoj mehanici, obradi snimaka, itd. Nazvan je po francuskom matematičaru Pjeru Simonu Laplasu.
Imajući u vidu pojmove divergencije i gradijenta, za datu skalarnu funkciju , biće:
- ,
što se može napisati kao:
- .
Desna strana poslednjeg izraza, bez oznake za funkciju , predstavlja Laplasov operator i obeležava se sa delta - Δ:
- .
Koristeći operator nabla, taj izraz možemo zapisati kao:
U jednodimenzionalnom i dvodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu Laplasov operator je:
-
U trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu je :
-
U trodimenzionalnom cilindričnom koordinatnom sistemu je:
-
U trodimenzionalnom sfernom koordinatnom sistemu je :
-
U Euklidskom prostoru Laplasov operator je dat u standardnim koordinatama kao
- .
Laplasov operator u opštim krivolinijskim koordinatama dan je sa:
-
-
- gde su Lameovi koeficijenti.
U slučaju Rimanovoga krivolinijskoga prostora definisanoga metričkim tenzorom Laplasijan je dan sa:
-
a metrika prostora definisana je sa:
- .
Laplasov operator je linearan:
-
Takođe važi :
-
- Evans, L (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9 .
- Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M (1970), „Chapter 12: Electrostatic Analogs”, The Feynman Lectures on Physics, Volume 2, Addison-Wesley-Longman .
- Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer, ISBN 978-3-540-41160-4 .
- Schey, H. M. (1996), Div, grad, curl, and all that, W W Norton & Company, ISBN 978-0-393-96997-9 .