Eksponencijalna funkcija
Eksponencijalna funkcija jedna je od najvažijih u matematici, izražena kao y = ex gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. Funkcija y = ex je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako raste x.
Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma y = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.
Definicija
urediEksponencijalna funkcija ex može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:
Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:
Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti ex (slika desno).
Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti
odnosno napisano drukčije
Derivacija
urediVažnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je
što znači da je funkcija ex ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Kex gdje je K konstanta.
Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:
- strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
- brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
- eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.
Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.
Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom
urediKatkada se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika
gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj e.
Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je
Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini
urediEksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:
Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost
vrijedi i u kompleksnoj ravnini.
Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:
za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda jer vrijedi
i
gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.
Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definirati općenitije da je
za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve
Literatura
uredi- Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
- Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.