Položaj (geometrija)

Položaj (takođe vektor položaja, radijus-vektor, radijvektor ili provodnica) je vektor ${\vec {r}}$ kojemu je početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O, obično ishodištu nekoga koordinatnog sustava, a vrh u promatranoj točki P. Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše P(r). Ako je pol u ishodištu Kartezijeva sustava, koordinate radijvektora neke točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke.

Dvije točke P i Q, te njihovi radijvektori (označeni kao $\scriptstyle {\vec {r}}_{P}$ i $\scriptstyle {\vec {r}}_{Q}$).

Primjena

Trajektorija

Ukoliko se vektor položaja ${\boldsymbol {\vec {r}}}$ materijalne tačke menja tokom vremena, to znači da dolazi do promene položaja, a tada vektor položaja svojim vrhom opisuje trajektoriju (putanju) tačke. Matematički izražena, zavisnost vektora položaja od vremena naziva se parametarskom jednačinom trajektorije:

${\vec {r}}={\vec {r}}\left(t\right),$

gde je $t$ vremenski trenutak za koji se traži vektor položaja. Ova jednačina u stvari predstavlja parametraski zadatu jednačinu krive koju tačka opisuje tokom svog kretanja i opštu jednačinu kretanja.

U Dekartovim koordinatama, vektor položaja se može zapisati preko projekcija po osama x, y i z:

${\vec {r}}=r_{x}{\hat {x}}+r_{y}{\hat {y}}+r_{z}{\hat {z}}$

Brzina i ubrzanje

Brzina se definiše kao promena vektora položaja u infinitezimalnom vremenu:

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$

Ubrzanje se definiše kao promena vektora položaja u infinitezimalnom vremenu:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

Drugi Keplerov zakon

Radijvektor (provodnica) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine (plava površina). Zelena strelica prikazuje brzinu (vektor brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje ubrzanje (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna (normalna) s brzinom.

Drugi Keplerov zakon glasi:

Radijvektor (provodnica) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.

Na prikazanoj slici $dv$ je priraštaj kuta $v$ koji odgovara kratkom intervalu $dt$. Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

$dp={\frac {r^{2}\pi }{2\pi }}dv={\frac {1}{2}}r^{2}dv$

($v$ u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj $dv$ vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom $r$. Tako proizlazi:

${\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {dv}{dt}}$

${\frac {dp}{dt}}$ naziva se površinskom brzinom. Prema drugom Keplerovu zakonu ta je brzina konstantna:

$r^{2}{\frac {dv}{dt}}=C$

i to je matematički izraz drugoga Keplerova zakona.