Lorenzov atraktor

Lorenzov atraktor je kaotično preslikavanje, istaknuto po svom leptirolikom obliku. Preslikavanje pokazuje kako stanje dinamičkog sustava (tri varijable trodimenzionalnog sustava) vremenski evolvira u složenom, neponavljajućem uzorku, često opisanom kao lijepim[nedostaje referenca].

Prikaz trajektorije Lorenzovog sustava za vrijednosti ρ=28, σ = 10, β = 8/3
Trajektorija Lorenzovih jednadžbi, renderirana kao metalna žica kako bi se naznačio smjer i trodimenzionalna struktura

Sam atraktor, kao i jednadžbe iz kojih je izveden, je izmislio Edward Lorenz 1963., koji ih je izveo iz pojednostavljenih jednadžbi konvekcijskih uvrtanja koji izniču iz jednadžbi Zemljine atmosfere.[1]

Sa tehničkog gledišta, sustav je nelinearan, trodimenzionalan i deterministički. 2001. je Warwick Tucker dokazao da za određene parametre sustav ispoljava kaotično ponašanje i pokazuje ono što je danas nazvano čudnim atraktorom. Čudni atraktor je u ovom slučaju fraktal Hausdorffove dimenzije između 2 i 3. Grassberger (1983.) je procjenio njegovu Hausdorffovu dimenziju na 2.06 ± 0.01 i korelacijsku dimenziju na 2.05 ± 0.01.

Sistem izniče u laserima, dinamima i specifičnim vodenicama [1].

Jednadžbe koje upravljaju Lorenzovim atraktorom su:

gdje se zove Prandtlovim brojem i Rayleighjevim brojem. Svi su , , > 0, ali je obično = 10, = 8/3 i varira. Sustav ispoljava kaotično ponašanje za = 28 i prikazuje čvoraste periodičke orbite za druge vrijednosti od . Primjerice, uz postaje T(3,2) torusni čvor.

Učinak leptira u Lorenzovom atraktoru

uredi
Učinak leptira
Vrijeme t=1 (povećano) Vrijeme t=2 (povećano) Vrijeme t=3 (povećano)
     
Ovi oblici - načinjeni uz ρ=28, σ = 10 i β = 8/3 - pokazuju tri vremenska segmenta 3-D evolucije dvaju trajektorija (jedne plavo, druge žuto obojeane) u Lorenzovom atraktoru počinjući od inicijalnih točaka koje se razlikuju svega za 10-5 u x koordinati. U početku se dvije trajektorije podudaraju (vidi se samo žuta, jer je iscrtana preko plave) ali, nakon nekog vremena, očito divergiraju.
Java animacija Lorenzovog atraktora Arhivirano 2008-03-11 na Portuguese Web Archive-u pokazuje kontinuiranu evoluciju.

Rabeći različite vrijednosti za Rayleighjev broj

uredi
Lorenzov atraktor za različite vrijednosti ρ
   
ρ=14, σ=10, β=8/3 (povećano) ρ=13, σ=10, β=8/3 (povećano)
   
ρ=15, σ=10, β=8/3 (povećano) ρ=28, σ=10, β=8/3 (povećano)
Za male vrijednosti ρ, sustav je stabilan i evolvira u jednu od dvije fiksne točke atraktora. Kada je ρ veći od 24.74, fiksne točke postaju repulzori koji odbijaju trajektorije na vrlo složen način, evolvirajući bez presijecanja same sebe.
Java animacija koja prikazuje evoluciju za različite vrijednosti ρ Arhivirano 2008-03-11 na Portuguese Web Archive-u

Vidi još

uredi

Izvori

uredi

Eksterni linkovi

uredi
  1. [|ScienceDirect]. „Lorenz Equation”.