Laplaceov operator

(Preusmjereno sa Laplasijan)

Laplasov operator, u matematici, je eliptički diferencijalni operator drugog reda. Ima brojne primene širom matematike, te u fizici, elektrostatici, kvantnoj mehanici, obradi snimaka, itd. Nazvan je po francuskom matematičaru Pjeru Simonu Laplasu.

Imajući u vidu pojmove divergencije i gradijenta, za datu skalarnu funkciju , biće:

,

što se može napisati kao:

.

Desna strana poslednjeg izraza, bez oznake za funkciju , predstavlja Laplasov operator i obeležava se sa delta - Δ:

.

Koristeći operator nabla, taj izraz možemo zapisati kao:

Koordinatni izraziUredi

U jednodimenzionalnom i dvodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu Laplasov operator je:

 

U trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu je :

 

U trodimenzionalnom cilindričnom koordinatnom sistemu je:

 

U trodimenzionalnom sfernom koordinatnom sistemu je :

 

U Euklidskom prostoru   Laplasov operator je dat u standardnim koordinatama kao

 .

Laplasov operator u opštim krivolinijskim koordinatama dan je sa:

 
 
gde su   Lameovi koeficijenti.

U slučaju Rimanovoga krivolinijskoga prostora definisanoga metričkim tenzorom   Laplasijan je dan sa:

 

a metrika prostora definisana je sa:

  .

SvojstvaUredi

Laplasov operator je linearan:

 

Takođe važi :

 

UopštenjaUredi

Laplasov operator se može uopštiti na više načina. Dalamberov operator je definisan na prostoru Minkovskog. Laplas-Beltramijev operator je eliptički diferencijalni operator drugog reda definisan na svakoj Rimanovoj mnogostrukosti. Laplas-de Ramov operator dejstvuje na prostorima diferencijalnih formi na pseudo-Rimanovim površima.

LiteraturaUredi

  • Evans, L (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9 .
  • Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M (1970), „Chapter 12: Electrostatic Analogs”, The Feynman Lectures on Physics, Volume 2, Addison-Wesley-Longman .
  • Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer, ISBN 978-3-540-41160-4 .
  • Schey, H. M. (1996), Div, grad, curl, and all that, W W Norton & Company, ISBN 978-0-393-96997-9 .

Spoljašnje vezeUredi