T-ravnalo (fraktal)

T-ravnalo je fraktal fraktalne dimenzije 2, a topološke 1. Ime je dobio po crtaćem priboru.

T-ravnalo, 8. iteracija

Konstrukcija

Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalom zovemo granicu crne i bijele površine.

Svojstva

T-ravnalo je beskonačno duga krivulja, ali ona okružuje konačnu površinu. Duljina krivulje nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 × 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine duljine po ${\frac {1}{2}}$ te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice duljine ${\frac {1}{2}}$ i dvije duljine ${\frac {1}{4}}$, pa je to $2+6=8$. Površina se poveća za ${\frac {3}{4}}$ (četiri dodatna kvadrata površine ${\frac {1}{4}}$, ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, duljina krivulje jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje ${\frac {3}{4}}$) te 9 od novih kvadrata (duljina granice svakog od 12 kvadrata jest ${\frac {3}{4}}$), dakle $2+3+9=14$. Površina se povećava za ${\frac {9}{16}}$ (svaki od 12 kvadrata ima površinu ${\frac {3}{64}}$). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, duljina krivulje je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:

$1+{\frac {3}{4}}+{\frac {9}{16}}+\cdots ={\frac {1}{1-{\frac {3}{4}}}}=4$.

Povezano

• Fraktali
• Beskonačno guste krivulje