Prirodan broj
Prirodni brojevi su svi celi brojevi veći od nule.
Skup prirodnih brojeva se obeležava velikim latiničnim slovom N={1,2,3,..}.
Skup prirodnih brojeva spx0ada u prebrojive skupove. Često se skupu prirodnih brojeva pridodaje i 0 i taj skup se označava sa N0.
Sabiranje prirodnih brojeva
urediNeka su dati konačni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja zbir (sumu) brojeva a i b, koji su sumandi (adendi, pribrojnici). Računska operacija koju pri tom obavljamo je sabiranje (adicija). Za sabiranje prirodnih brojeva važi
- Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
- zakon komutacije a+b=b+a
- zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
- zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b,za a = b + d => a > b
- zakon kancelacije skračivanja
ako je a+c=b+c onda je a=b
Teorema 1
a=b <= > a+c= b+c.
Pod a1+ a2 + a3, podrazunjevamo (a1+ a2)+ a3. Pod a1 + a2+ a3 + a4 podrazunjevamo (a1 + a2 + a3 )+ a4 . uopštano je a1+ a2+ a3+....+ an= (a1+ a2+...+ am)+(.. a(m+1+...+ + an).
Teorema 2 a < b=> a+c< b+c
dokaz
a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c.
Teorema 3
(a < b & b<c) => a<c
Množenje prirodnih brojeva
urediNeka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnožnik) brojeva a i b koji su faktori (činioci) . Proizvod označavamo sa ab.
Za množenje prirodnih brojeva važi
- Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
- zakon komutacije ab= ba
- zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
- zakon kancelacije skračivanja ako je ac=bc onda je a=b
- zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje
(a+b)c=ac +bc.
Broj b+b+b+....+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b . .. Teorema 4
a = b => ac=bc a < b => ac < bc
Arhimedova teorema
Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.
Oduzimanje prirodnih brojeva
urediOd broja a oduzeti broj b znači naći broj d takav da je a = b+d.
Broj a je razlika ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.
Očigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.
Primjer 2-3 nije iz N
Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva
urediPodijeliti broj a brojem b znači naći broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili količnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.
U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.
Primjer
5 / 3 nije iz N
Algebarske operacije
urediPosmatrajmo operacije sabiranja i množenja u skupu N. Očito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa
(a,b)→ a + b i analogno
a(a,b)→ab.
Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi
- Zakon komutacije ako je a*b=b*a
- Zakon asocijacje ako je a*(b*c)= a*b)*c
Ovi zakoni ne moraju važiti uvijek.
(a,b)= 2a + 2b
a*b= 2a+2b= 2b + 2a= b*a
(a*b)*c = (2a+2b)*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c
a*(b*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c
tj ne važi asocijativnost.
Neka su date dvije operacije * i ○ kažemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi a*(b○c)=(a*b) ○(a*c).
Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.
Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom slučaju sa elementima skupa možemo računati.
Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo grupoid. Uređen par (S,*) koji čini neprazni skup S i algebarska operacija * definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S* ) grupoid i e iz S onda je
- e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a
- e desnii neutralni element u odnosu na operaciju* akoje a*e=a
- e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju* akoje e*a=a*e=a.
Neutralni element za operaciju množenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N0 je e=0.
Grupoid može biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo polugrupa.Polugrupa može imati inverzni element.
- x je desni inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x = e
- x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju * akoje x * a = e
- x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju * akoje a * x =x * a = e
Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni ewlement.
Polugrupa (S, *) s dvostrukim inverznim elementom ima najviše jedan inverzni element
Dokaz
x1= x1 * e = x1 (a * x0) = (x1 * a )* = x0