Grupa (matematika) – razlika između verzija

U [[apstraktna algebra|apstraktnoj algebri]], '''grupa''' je [[skup]] sa [[binarna operacija|binarnom operacijom]], koji zadovoljava određene aksiome, navedene niže. Na primer, skup [[ceo broj|celih brojeva]] sa [[sabiranje]]m je grupa. Grana matematike koja proučava grupe je [[teorija grupa]].

 

== Definicije ==

Grupa (G, *) je [[skup]] G sa binarnom operacijom *, koja zadovoljava sledeće četiri [[aksiom]]e:

* ''[[Zatvorenost (matematika)|Zatvorenost]]'': Za svako ''a'', ''b'' iz ''G'', rezultat ''a'' * ''b'' je takođe u ''G''.

* ''[[Asocijativnost]]'': Za svako ''a'', ''b'' i ''c'' iz ''G'', (''a'' * ''b'') * ''c'' = ''a'' * (''b'' * ''c'').

Za konkretniji primer grupe, uzmimo tri obojene pločice (crvenu, zelenu i plavu) na početku postavljene u raspored CZP. Neka je ''a'' dejstvo "zameni prvu i drugu pločicu", i neka je ''b'' dejstvo "zameni drugu i treću pločicu".

 

U multiplikativnom obliku, tradicionalno zapisujemo ''xy'' za kombinovano dejstvo u "prvo uradi ''y'', a zatim uradi ''x''"; tako da je ''ab'' akcija CZP → CPZ → PCZ, tj, "uzmi plavu pločicu, i pomeri je na početak".

Ako sa ''e'' označavamo dejstvo "ostavi pločice tamo gde jesu" (neutral), tada možemo da napišemo šest [[permutacija]] [[skup]]a tri pločice kao sledeća dejstva:

* ''e'' : CZP → CZP

* ''a'' : CZP → ZCP

 

:Sledi da je neutral jedinstven.

* Svaki element ima tačno jedan inverz.

 

 

Prva dva svojstva u stvari proizlaze iz asocijativnosti binarnih operacija definisanih na skupu. Ako je data binarna operacija na skupu, postoji najviše jedan neutral i najviše jedan inverz za svaki element (bez obzira na to imaju li ostali elementi inverze).

* Može se vršiti [[deljenje (matematika)|deljenje]] u grupama; to jest, ako su dati elementi ''a'' i ''b'' grupe ''G'', postoji tačno jedno rešenje ''x'' iz ''G'' jednačine ''x'' * ''a'' = ''b'' i tačno jedno rešenje ''y'' iz ''G'' jednačine ''a'' * ''y'' = ''b''. Oprez: u ne-Abelovim grupama, ovi elementi ''x'' i ''y'' ne moraju biti jednaki, te tako u opštem oznaka ''b/a'' nema smisla.

* Izraz "''a''₁ * ''a''₂ * ··· * ''a''_''n''" je nedvosmislen, jer će rezultat biti isti nevezano od toga gde postavimo zagrade. (Rezultat primene [[princip matematičke indukcije|principa matematičke indukcije]] na asocijativno svojstvo.)

* (''Čarape i cipele'') Inverz proizvoda je proizvod inverza u suprotnom redosledu: (''a'' * ''b'')⁻¹ = ''b''⁻¹ * ''a''⁻¹.