|
[[Datoteka:Lagrange points.jpg|thumb|330px|СликаSlika којаkoja показујеpokazuje ефективнеefektivne потенцијалеpotencijale системаsistema дваdva телаtela (конкретноkonkretno [[СунцеSunce|СунцаSunca]] иi [[ЗемљаZemlja|ЗемљеZemlje]]) уследusled дејстваdejstva [[гравитацијаgravitacija|гравитационеgravitacione]] иi [[центрифугалнаcentrifugalna силаsila|центрифугалнеcentrifugalne силеsile]] уu [[референтниreferentni системsistem|референтномreferentnom системуsistemu]] којиkoji ротираrotira такоtako даda положајиpoložaji телаtela остајуostaju константниkonstantni. ТелаTela којаkoja ротирајуrotiraju окоoko СунцаSunca саsa истимistim орбиталнимorbitalnim периодомperiodom каоkao ЗемљаZemlja ћеće почетиpočeti даda сеse крећуkreću поpo линијамаlinijama којеkoje спајајуspajaju еквипотенцијнеekvipotencijne површиpovrši. СтрелицеStrelice показујуpokazuju градијентgradijent порастаporasta потенцијалаpotencijala окоoko 5 ЛагранжовихLagranžovih тачакаtačaka — <font color="red">каka њимаnjima</font> иi <font color="blue">одod њихnjih</font> алиali суsu уu самимsamim тачкамаtačkama овеove силеsile уu равнотежиravnoteži. ВидиVidi [http://map.gsfc.nasa.gov/mission/observatory_l2.html NASA Wilkinson Microwave Anisotropy Probe] заza вишеviše детаљаdetalja.]]
'''Lagranžove tačke''' ('''L-tačke''') je naziv za pet tačaka u [[orbita]]lnoj konfiguraciji gde malo telo na koje deluje samo [[gravitacija]] može da bude nepokretno u odnosu na dva veća tela (npr. [[veštački satelit]] u odnosu na [[Zemlja|Zemlju]] i [[Mesec]]). U Lagranžovim tačkama gravitaciona dejstva dva veća tela poništavaju centrifugalnu silu koja bi izbacila telo iz orbite. Ove tačke su analogne [[geostacionarna orbita|geostacionarnim orbitama]] u smislu da se uzajamni položaji tela u sistemu ne menjaju vremenom.
'''Лагранжове тачке''' ('''-{L}--тачке''') је назив за пет тачака у [[орбита]]лној конфигурацији где мало тело на које делује само [[гравитација]] може да буде непокретно у односу на два већа тела (нпр. [[вештачки сателит]] у односу на [[Земља|Земљу]] и [[Месец]]). У Лагранжовим тачкама гравитациона дејства два већа тела поништавају центрифугалну силу која би избацила тело из орбите. Ове тачке су аналогне [[геостационарна орбита|геостационарним орбитама]] у смислу да се узајамни положаји тела у систему не мењају временом.
ПрецизнијаPreciznija дефиницијаdefinicija кажеkaže даda суsu ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke стационарнаstacionarna решењаrešenja редукованогredukovanog [[проблемproblem триtri телаtela|проблемаproblema триtri телаtela]].<ref>"[http://scienceworld.wolfram.com/physics/RestrictedThree-BodyProblem.html РедукованиRedukovani проблемproblem триtri телаtela]", -{Science World}-.</ref><ref>"[http://demonstrations.wolfram.com/LagrangePoints/ ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke]" -{Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project}-.</ref>
==Istorija i koncept==
==Историја и концепт==
ТриTri колинеарнеkolinearne ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke јеje првиprvi откриоotkrio [[ЛеонардLeonard ОјлерOjler|ОјлерOjler]] окоoko 1750. годинеgodine.<ref>{{cite book |title=Dynamical Systems, the Three-Body Problem, and Space Mission Design |last=Koon |first=W. S. |coauthors=M. W. Lo, J. E. Marsden, and S. D. Ross |url=http://www.cds.caltech.edu/~marsden/books/Mission_Design.html |date=2006 |pages=9}}</ref>
[[Italija]]nsko-[[francuska|francuski]] [[matematika|matematičar]] [[Žozef Luj Lagranž]] je [[1772]]. radio na čuvenom problemu tri tela, kada je otkrio zanimljivu posledicu svojih rezultata. Lagranž je pokušao da pronađe jednostavan način za računanje gravitacionih interakcija proizvoljnog broja tela, jer prema [[Njutn]]ovoj [[mehanika|mehanici]] tela se u takvom sistemu kreću [[teorija haosa|haotično]] dok ne dođe do sudara ili neka tela budu izbačena iz sistema tako da se ostatak sistema nađe u ravnoteži. Problem jednog tela je trivijalan, jer je ono statično u odnosu na samo sebe, problem dva tela je jednostavan jer se oba tela kreću oko zajedničkog [[centar mase|centra mase]]; međutim uvođenjem dodatnih tela se matematičke jednačine drastično komplikuju. Potrebno je izračunati uticaj svih tela na sva druga tela na svakoj tački njihove putanje.
[[Италија]]нско-[[француска|француски]] [[математика|математичар]] [[Жозеф Луј Лагранж]] је [[1772]]. радио на чувеном проблему три тела, када је открио занимљиву последицу својих резултата. Лагранж је покушао да пронађе једноставан начин за рачунање гравитационих интеракција произвољног броја тела, јер према [[Њутн]]овој [[механика|механици]] тела се у таквом систему крећу [[теорија хаоса|хаотично]] док не дође до судара или нека тела буду избачена из система тако да се остатак система нађе у равнотежи. Проблем једног тела је тривијалан, јер је оно статично у односу на само себе, проблем два тела је једноставан јер се оба тела крећу око заједничког [[центар масе|центра масе]]; међутим увођењем додатних тела се математичке једначине драстично компликују. Потребно је израчунати утицај свих тела на сва друга тела на свакој тачки њихове путање.
Lagranž je želeo da pojednostavi problem. Uveo je jednostavnu hipotezu: ''Putanja objekta je određena putem koji minimizuje akciju tokom vremena''. Takvu putanju je moguće naći oduzimanjem [[potencijalna energija|potencijalne]] od [[kinetička energija|kinetičke energije]]. Ovakvim razmišljanjem, Lagranž je reformulisao klasičnu Njutnovu mehaniku i došao do tzv. [[Lagranžova mehanika|Lagranžove mehanike]]. Dalji rad je doveo Lagranža do hipoteze kako će se telo zanemarljive mase kretati oko dva tela koja se već nalaze na približno kružnim orbitama. U [[referentni sistem|referentnom sistemu]] koji rotira zajedno sa većim telima, Lagranž je našao 5 specifičnih tačaka u kojima se poništavaju sile koje deluju na malo telo<ref>{{fr}} {{cite book
Лагранж је желео да поједностави проблем. Увео је једноставну хипотезу: ''Путања објекта је одређена путем који минимизује акцију током времена''. Такву путању је могуће наћи одузимањем [[потенцијална енергија|потенцијалне]] од [[кинетичка енергија|кинетичке енергије]]. Оваквим размишљањем, Лагранж је реформулисао класичну Њутнову механику и дошао до тзв. [[Лагранжова механика|Лагранжове механике]]. Даљи рад је довео Лагранжа до хипотезе како ће се тело занемарљиве масе кретати око два тела која се већ налазе на приближно кружним орбитама. У [[референтни систем|референтном систему]] који ротира заједно са већим телима, Лагранж је нашао 5 специфичних тачака у којима се поништавају силе које делују на мало тело<ref>{{фр}} {{cite book
|last= Lagrange
|first= Joseph-Louis
|authorlink= ЖозефŽozef ЛујLuj ЛагранжLagranž
|title= Oeuvres de Lagrange
|year= 1867-1892
|pages = 272–292
|url= http://gallica.bnf.fr/Catalogue/noticesInd/FRBNF30719104.htm}}
</ref>. U njegovu čast su ove tačke nazvane „Lagranžove tačke“. Tek posle sto godina (1990-ih) su otkriveni [[Trojanski asteroidi]], čije orbite se nalaze u Lagranžovim tačkama sistema [[Sunce]]-[[Jupiter]].
</ref>. У његову част су ове тачке назване „Лагранжове тачке“. Тек после сто година (1990-их) су откривени [[Тројански астероиди]], чије орбите се налазе у Лагранжовим тачкама система [[Сунце]]-[[Јупитер]].
U opštijem slučaju [[elipsa|eliptičnih]] orbita, ne postoje više stacionarne „tačke“, već se javljaju ''Lagranžove „oblasti“''. Lagranžove tačke konstruisane za svaku konfiguraciju sistema grade elipse matematički slične elipsama koje opisuju veća tela, što je posledica [[drugi Njutnov zakon|drugog Njutnovog zakona]]. Telo u Lagranžovoj tački ima isti orbitalni period kao i dva veća tela, i ovaj orbitalni period ne zavisi od oblika putanje, što znači da su eliptične putanje koje opisuju Lagranžove tačke zapravo rešenja [[jednačina kretanja|jednačine kretanja]] za treće telo.
У општијем случају [[елипса|елиптичних]] орбита, не постоје више стационарне „тачке“, већ се јављају ''Лагранжове „области“''. Лагранжове тачке конструисане за сваку конфигурацију система граде елипсе математички сличне елипсама које описују већа тела, што је последица [[други Њутнов закон|другог Њутновог закона]]. Тело у Лагранжовој тачки има исти орбитални период као и два већа тела, и овај орбитални период не зависи од облика путање, што значи да су елиптичне путање које описују Лагранжове тачке заправо решења [[једначина кретања|једначине кретања]] за треће тело.
==Lagranžove tačke==
==Лагранжове тачке==
[[СликаSlika:Lagrange very massive.svg|миниmini|300п300p|СликаSlika којаkoja приказујеprikazuje ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke уu системуsistemu уu комеkome јеje једноjedno телоtelo далекоdaleko масивнијеmasivnije одod другогdrugog (нпрnpr. СунцеSunce иi ЗемљаZemlja). УU таквомtakvom системуsistemu сеse чиниčini сеse даda тачкеtačke -{L}-<sub>3</sub>–-{L}-–L<sub>5</sub> налазеnalaze наna истојistoj орбитиorbiti каоkao мањеmanje телоtelo, мадаmada сеse заправоzapravo налазеnalaze малоmalo изванizvan његовеnjegove орбитеorbite.]]
Pet lagranžovih tačaka nosi sledeće oznake:
Пет лагранжових тачака носи следеће ознаке:
===-{L}-<sub>1</sub>===
'''-{L}-<sub>1</sub>''' тачкаtačka лежиleži наna линијиliniji којаkoja спајаspaja већеveće масеmase M<sub>1</sub> and M<sub>2</sub>, иi тоto измеђуizmeđu овихovih телаtela. ОвуOvu јеje тачкуtačku интуитивноintuitivno најлакшеnajlakše разуметиrazumeti, уu њојnjoj гравитацијаgravitacija мањегmanjeg сеse директноdirektno супротстављаsuprotstavlja гравитацијиgravitaciji већегvećeg телаtela.
:'''Primer:''' Telo koje kruži oko Sunca bliže od Zemlje bi trebalo da ima kraći orbitalni period, ali time zanemarujemo efekt Zemljine gravitacije. Ako se objekt nalazi na liniji koja spaja Zemlju i Sunce, Zemljina gravitacija deluje nasuprot Sunčeve, povećavajući pri tom orbitalni period objekta. Što je objekt bliže Zemlji, i efekt je veći. U L<sub>1</sub> tački, orbitalni period objekta i Zemlje postaju jednaki.
:'''Пример:''' Тело које кружи око Сунца ближе од Земље би требало да има краћи орбитални период, али тиме занемарујемо ефект Земљине гравитације. Ако се објект налази на линији која спаја Земљу и Сунце, Земљина гравитација делује насупрот Сунчеве, повећавајући при том орбитални период објекта. Што је објект ближе Земљи, и ефект је већи. У -{L}-<sub>1</sub> тачки, орбитални период објекта и Земље постају једнаки.
L<sub>1</sub> tačka u sistemu Sunce-Zemlja je idealna za posmatranje Sunca. Solarna i heliosferna opservatorija ([[SOHO]]) je smeštena u [[Halo orbita|Halo orbiti]] oko L<sub>1</sub>, a satelit Napredni istraživač sastava ([[ACE satelit|ACE]]) u [[Lisažu orbita|Lisažu orbiti]], takođe oko L<sub>1</sub>. Zemlja-Mesec L<sub>1</sub> omogućava lak pristup orbitama i oko Zemlje i oko Meseca uz minimalnu promenu brzine zbog čega je idealna za svemirsku stanicu koja bi prenosila ljude i teret do Meseca i nazad.
-{L}-<sub>1</sub> тачка у систему Сунце-Земља је идеална за посматрање Сунца. Соларна и хелиосферна опсерваторија (-{[[SOHO]]}-) је смештена у [[Хало орбита|Хало орбити]] око -{L}-<sub>1</sub>, а сателит Напредни истраживач састава ([[ACE сателит|-{ACE}-]]) у [[Лисажу орбита|Лисажу орбити]], такође око -{L}-<sub>1</sub>. Земља-Месец -{L}-<sub>1</sub> омогућава лак приступ орбитама и око Земље и око Месеца уз минималну промену брзине због чега је идеална за свемирску станицу која би преносила људе и терет до Месеца и назад.
===-{L}-<sub>2</sub>===
[[СликаSlika:L2 rendering.jpg|миниmini|300п300p|СликаSlika којаkoja приказујеprikazuje СунцеSunce-ЗемљаZemlja -{L}-<sub>2</sub> тачкуtačku, којаkoja лежиleži добраноdobrano изаiza МесечевеMesečeve орбитеorbite.]]
'''L<sub>2</sub>''' tačka leži na pravoj definisanoj većim masama, iza manjeg tela. U ovom slučaju se gravitaciona dejstva oba tela suprotstavljaju centrifugalnoj sili trećeg tela.
'''-{L}-<sub>2</sub>''' тачка лежи на правој дефинисаној већим масама, иза мањег тела. У овом случају се гравитациона дејства оба тела супротстављају центрифугалној сили трећег тела.
:'''Primer:''' Sa one strane Zemlje suprotne Suncu, orbitalni period bi normalno bio kraći od orbitalnog perioda Zemlje. Dodatno gravitaciono privlačenje Zemlje skraćuje taj orbitalni period koji u L<sub>2</sub> postaje jednak periodu revolucije Zemlje.
:'''Пример:''' Са оне стране Земље супротне Сунцу, орбитални период би нормално био краћи од орбиталног периода Земље. Додатно гравитационо привлачење Земље скраћује тај орбитални период који у -{L}-<sub>2</sub> постаје једнак периоду револуције Земље.
L<sub>2</sub> tačka u sistemu Sunce-Zemlja je dobra pozicija za svemirska posmatranja. Kako objekti u L<sub>2</sub> zadržavaju istu orijentaciju u odnosu na Zemlju i Sunce, kalibracija i zaštita su značajno jednostavniji. [[Vilkinsonova stanica za mikrotalasnu anizotropiju]] ({{jez-engl|Wilkinson Microwave Anisotropy Probe}}) se već nalazi u orbiti oko L<sub>2</sub>, a u planu su i [[Plankov satelit]], [[Heršel svemirska opservatorija]], [[Gaja stanica]] i [[Džejms Veb svemirski teleskop]]. L<sub>2</sub> tačka u sistemu Zemlja-Mesec predstavlja pogodnu tačku za postavljanje komunikacionih satelita za dalju stranu Meseca.
-{L}-<sub>2</sub> тачка у систему Сунце-Земља је добра позиција за свемирска посматрања. Како објекти у -{L}-<sub>2</sub> задржавају исту оријентацију у односу на Земљу и Сунце, калибрација и заштита су значајно једноставнији. [[Вилкинсонова станица за микроталасну анизотропију]] ({{јез-енгл|Wilkinson Microwave Anisotropy Probe}}) се већ налази у орбити око -{L}-<sub>2</sub>, а у плану су и [[Планков сателит]], [[Хершел свемирска опсерваторија]], [[Гаја станица]] и [[Џејмс Веб свемирски телескоп]]. -{L}-<sub>2</sub> тачка у систему Земља-Месец представља погодну тачку за постављање комуникационих сателита за даљу страну Месеца.
АкоAko јеje масаmasa мањегmanjeg телаtela (M<sub>2</sub>) многоmnogo мањаmanja одod масеmase већегvećeg објектаobjekta (M<sub>1</sub>), ондаonda сеse -{L}-<sub>1</sub> иi -{L}-<sub>2</sub> налазеnalaze наna приближноpribližno истојistoj удаљеностиudaljenosti ''-{r}-'' одod мањегmanjeg телаtela, једнакојjednakoj полупречникуpoluprečniku [[ХиловаHilova сфераsfera|ХиловеHilove сфереsfere]]:
:<math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}</math>
гдеgde јеje ''-{R}-'' удаљеностudaljenost измеђуizmeđu M<sub>1</sub> иi M<sub>2</sub>.
Primeri:
Примери:
*[[СунцеSunce]] иi [[ЗемљаZemlja]]: 1 500 000 -{km}- одod ЗемљеZemlje
*ЗемљаZemlja иi [[МесецMesec]]: 61 500 -{km}- одod МесецаMeseca
===-{L}-<sub>3</sub>===
'''-{L}-<sub>3</sub>''' тачкаtačka лежиleži колинеарноkolinearno саsa већимvećim телимаtelima, изаiza већегvećeg одod њихnjih
:'''Primer:''' L<sub>3</sub> u sistemu Sunce-Zemlja se nalazi na suprotnoj strani Sunca u odnosu na Zemlju, malo bližu Suncu nego Zemlja, jer se [[centar mase]] u sistemu Sunce-Zemlja ne nalazi u sentru Sunca već nešto bliže Zemlji. Kao i u L<sub>2</sub>, i u L<sub>3</sub> tački zajedničko gravitaciono privlačenje Sunca i Zemlje dovodi do toga da tela imaju isti period revolucije kao Zemlja.
:'''Пример:''' -{L}-<sub>3</sub> у систему Сунце-Земља се налази на супротној страни Сунца у односу на Земљу, мало ближу Сунцу него Земља, јер се [[центар масе]] у систему Сунце-Земља не налази у сентру Сунца већ нешто ближе Земљи. Као и у -{L}-<sub>2</sub>, и у -{L}-<sub>3</sub> тачки заједничко гравитационо привлачење Сунца и Земље доводи до тога да тела имају исти период револуције као Земља.
U petparačkoj [[naučna fantastika|naučnoj fantastici]] i [[strip]]ovima L<sub>3</sub> je bila populatno mesto za smeštanje „anti-Zemlje“, ali kada se jednom započelo sa lansiranjem svemirskih sondi, pokazano je da takvo telo ne postoji, Štaviše, Sunce-Zemlja L<sub>3</sub> tačka je izuzetno nestabilna zbog gravitacionog dejstva drugih planeta. [[Venera (planeta)|Venera]], na primer, svakih 20 meseci prolazi na manje od 0,3 [[Astronomska jedinica|AJ]] od L<sub>3</sub>.
У петпарачкој [[научна фантастика|научној фантастици]] и [[стрип]]овима -{L}-<sub>3</sub> је била популатно место за смештање „анти-Земље“, али када се једном започело са лансирањем свемирских сонди, показано је да такво тело не постоји, Штавише, Сунце-Земља -{L}-<sub>3</sub> тачка је изузетно нестабилна због гравитационог дејства других планета. [[Венера (планета)|Венера]], на пример, сваких 20 месеци пролази на мање од 0,3 [[Астрономска јединица|АЈ]] од -{L}-<sub>3</sub>.
===-{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub>===
[[СликаSlika:L4 diagram.svg|миниmini|десноdesno|200п200p|ГравитационаGravitaciona силаsila уu -{L}-<sub>4</sub>.]]
'''-{L}-<sub>4</sub>''' иi '''-{L}-<sub>5</sub>''' тачкеtačke лежеleže наna теменимаtemenima једнакостраничногjednakostraničnog троуглаtrougla чијаčija јеje основаosnova дефинисанаdefinisana већимvećim телимаtelima. ТачкаTačka -{L}-<sub>4</sub> сеse налазиnalazi испредispred, аa -{L}-<sub>5</sub> изаiza мањегmanjeg телаtela гледаноgledano уu односуodnosu наna његовуnjegovu револуцијуrevoluciju окоoko већегvećeg. ОбеObe овеove ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke лежеleže уu равниravni орбитеorbite мањегmanjeg телаtela.
ОвеOve двеdve тачкеtačke суsu стабилнеstabilne јерjer суsu једнакоjednako удаљенеudaljene одod обеobe масеmase, паpa јеje силаsila којомkojom већаveća телаtela наna њихnjih делујуdeluju пропорционалнаproporcionalna масамаmasama МM<sub>1</sub> иi МM<sub>2</sub>, такоtako даda резултантаrezultanta силеsile пролазиprolazi крозkroz центарcentar масеmase. УU -{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub> неne мораmora даda сеse налазиnalazi телоtelo занемарљивеzanemarljive масеmase уu односуodnosu наna МM<sub>1</sub> иi МM<sub>2</sub>; општуopštu троугаонуtrougaonu конфигурацијуkonfiguraciju јеje откриоotkrio ЛагранжLagranž проучавајућиproučavajući проблемproblem 3 телаtela.
-{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub> сеse понекадponekad називајуnazivaju ''троугаонеtrougaone ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke'' илиili ''ТројанскеTrojanske тачкеtačke''. НазивNaziv ''ТројанскеTrojanske тачкеtačke'' потичеpotiče одod [[ТројанциTrojanci (астероидиasteroidi)|тројанскихtrojanskih астероидаasteroida]], којиkoji сеse налазеnalaze уu -{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub> тачкамаtačkama системаsistema СунцеSunce-[[ЈупитерJupiter (планетаplaneta)|ЈупитерJupiter]]. АстероидиAsteroidi уu -{L}-<sub>4</sub> суsu названиnazvani „грчки„grčki табор“tabor“ аa уu -{L}-<sub>5</sub> „тројански„trojanski табор“tabor“, иi носеnose именаimena одговарајућихodgovarajućih јунакаjunaka [[ИлијадаIlijada|ИлијадеIlijade]].
:'''ПримериPrimeri:'''
* СунцеSunce-ЗемљаZemlja -{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub> тачкеtačke садржеsadrže међупланетарнуmeđuplanetarnu прашинуprašinu
* уu СунцеSunce-ЈупитерJupiter -{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub> тачкамаtačkama сеse налазеnalaze тројанскиtrojanski астероидиasteroidi
* уu -{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub> тачкамаtačkama системаsistema СунцеSunce-[[НептунNeptun (планетаplaneta)|НептунNeptun]] сеse налазеnalaze телаtela изiz [[КајперовKajperov појасpojas|КајперовогKajperovog појасаpojasa]].
* [[СатурнSaturn (планетаplaneta)|СатурнSaturn]]овov сателитsatelit [[ТетидаTetida (сателитsatelit)|ТетидаTetida]] имаima дваdva мањаmanja сателитаsatelita уu својимsvojim -{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub> тачкамаtačkama – [[ТелестоTelesto (сателитsatelit)|ТелестоTelesto]] иi [[КалипсоKalipso (сателитsatelit)|КалипсоKalipso]] (респективноrespektivno)
* [[СатурнSaturn (планетаplaneta)|СатурнSaturn]]овov сателитsatelit [[ДионаDiona (сателитsatelit)|ДионуDionu]] пратеprate сателитиsateliti [[ХеленаHelena (сателитsatelit)|ХеленаHelena]] иi [[ПолидеукPolideuk (сателитsatelit)|ПолидеукPolideuk]] уu -{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub> тачкамаtačkama (респективноrespektivno)
* prema [[hipoteza gigantskog sudara|hipotezi gigantskog sudara]] planeta veličine [[Mars (planeta)|Mars]] po imenu [[Teja (planeta)|Teja]] je postojala u Zemljinoj L<sub>4</sub> ili L<sub>5</sub> tački, ali je zbog svoje veličine postala nestabilna, sudarila se sa Zemljom, a kao posledica sudara je nastao [[Mesec]].
* према [[хипотеза гигантског судара|хипотези гигантског судара]] планета величине [[Марс (планета)|Марс]] по имену [[Теја (планета)|Теја]] је постојала у Земљиној -{L}-<sub>4</sub> или -{L}-<sub>5</sub> тачки, али је због своје величине постала нестабилна, сударила се са Земљом, а као последица судара је настао [[Месец]].
==Stabilnost==
==Стабилност==
Prve tri Lagranžove tačke su stabilne samo u ravni normalnoj na pravu definisanu dvama telima. Ovo je najočiglednije kod L<sub>1</sub>. Na probnu masu pomerenu normalno u odnosu na duž koja spaja M<sub>1</sub> i M<sub>2</sub> delovaće privlačna sila oba tela koja teži da telo vrati u ravnotežnu tačku. Ovo se dešava jer se komponente sile normalne na M<sub>1</sub>-M<sub>2</sub> duž superponiraju, dok su komponentne paralelne sa ovom duži uravnotežene. Međutim, ako se probno telo pomeri bliže nekoj od masa, to telo će delovati jačom silom nego telo od koga je probna masa odmaknuta. (Ovakvo ponašanje je slično ponašanju pod dejtstvom [[plimska sila|plimskih sila]]).
Прве три Лагранжове тачке су стабилне само у равни нормалној на праву дефинисану двама телима. Ово је најочигледније код -{L}-<sub>1</sub>. На пробну масу померену нормално у односу на дуж која спаја М<sub>1</sub> и М<sub>2</sub> деловаће привлачна сила оба тела која тежи да тело врати у равнотежну тачку. Ово се дешава јер се компоненте силе нормалне на М<sub>1</sub>-М<sub>2</sub> дуж суперпонирају, док су компонентне паралелне са овом дужи уравнотежене. Међутим, ако се пробно тело помери ближе некој од маса, то тело ће деловати јачом силом него тело од кога је пробна маса одмакнута. (Овакво понашање је слично понашању под дејтством [[плимска сила|плимских сила]]).
Mada se može reći da su L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> i L<sub>3</sub> generalno nestabilne tačke, moguće je pronaći stabilne periodične orbite oko ovih tačaka, makar u restihovanom problemu tri tela. Ove potpuno periodilne orbite, koje se zovu „halo“ orbite, ne postoje u punom dinamičkom sistemu n-tela tako što je [[Sunčev sistem]]. U ovom slučaju postoje kvaziperiodične orbite koje prate [[Lisažuove krive]], i ovakve [[Lisažuove orbite]] su koristile sve dosadašnje misije u Lagranžovim tačkama. Mada Lisažuove orbite nisu savršeno stabilne, potrebne su relativno skromne korekcije za održavanje letelica na željenim orbitama. U slučaju Sunce-Zemlja L<sub>1</sub> tačke, pokazalo se korisnim da se svemirske misije smeste u Lasažuove orbite sa velikom amplitudom (100 000 – 200 000km), čime se smanjuje uticaj Sunčevog zračenja na komunikaciju Zemlje sa misijom.
Мада се може рећи да су -{L}-<sub>1</sub>, -{L}-<sub>2</sub> и -{L}-<sub>3</sub> генерално нестабилне тачке, могуће је пронаћи стабилне периодичне орбите око ових тачака, макар у рестихованом проблему три тела. Ове потпуно периодилне орбите, које се зову „хало“ орбите, не постоје у пуном динамичком систему -{n}--тела тако што је [[Сунчев систем]]. У овом случају постоје квазипериодичне орбите које прате [[Лисажуове криве]], и овакве [[Лисажуове орбите]] су користиле све досадашње мисије у Лагранжовим тачкама. Мада Лисажуове орбите нису савршено стабилне, потребне су релативно скромне корекције за одржавање летелица на жељеним орбитама. У случају Сунце-Земља L<sub>1</sub> тачке, показало се корисним да се свемирске мисије сместе у Ласажуове орбите са великом амплитудом (100 000 – 200 000-{km}-), чиме се смањује утицај Сунчевог зрачења на комуникацију Земље са мисијом.
НасупротNasuprot колинеарнимkolinearnim ЛагранжовимLagranžovim тачкамаtačkama, троугаонеtrougaone тачкеtačke (-{L}-<sub>4</sub> иi -{L}-<sub>5</sub>) суsu тачкеtačke стабилнеstabilne равнотежеravnoteže, подpod условомuslovom даda јеje односodnos измеђуizmeđu -МM<sub>1</sub> иi МM<sub>2</sub> већиveći одod 24,96<ref>ТачнијеTačnije <math>\tfrac{25+3\sqrt{69}}{2}</math></ref><ref name="cornish">[http://map.gsfc.nasa.gov/ContentMedia/lagrange.pdf ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke] – НилNil ЏDž КорнишKorniš иi ЏеремиDžeremi ГудманGudman</ref>. ОвоOvo јеje случајslučaj заza СунцемSuncem иi ЗемљомZemljom, докdok јеje односodnos ЗемљеZemlje иi МесецаMeseca заza нијансуnijansu мањиmanji. КадаKada сеse телоtelo помериpomeri изiz троугаонеtrougaone ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke, [[КориолисоваKoriolisova силаsila]] гаga задржаваzadržava наna стабилмојstabilmoj, бубрежастојbubrežastoj орбитиorbiti окоoko ЛагранжовеLagranžove тачкеtačke (посматраноposmatrano изiz ротирајућегrotirajućeg референтногreferentnog системаsistema). УU системуsistemu ЗемљаZemlja-МесецMesec, међутимmeđutim, проблемproblem стабилностstabilnost јеje компликованијиkomplikovaniji збогzbog значајногznačajnog утицајаuticaja СунчевеSunčeve гравитацијеgravitacije <ref>
{{cite web | url = http://www.rfreitas.com/Astro/SearchIcarus1980.htm | title = ПотрагаPotraga заza природнимprirodnim илиili вештачкимveštačkim објектимаobjektima смештенимsmeštenim уu ЗемљаZemlja-МесецMesec либрационимlibracionim тачкамаtačkama | publisher = ИкарусIkarus}}</ref>
== Misije u Lagranžovim tačkama ==
== Мисије у Лагранжовим тачкама ==
Zbog svoje specifičnosti, Lagranžove tačke su česta meta za neke vrste misija. Najčešće se misije nalaze u orbiti oko Lagranžovih tačaka, a ne u samim tačkama.
Због своје специфичности, Лагранжове тачке су честа мета за неке врсте мисија. Најчешће се мисије налазе у орбити око Лагранжових тачака, а не у самим тачкама.
{| class="wikitable"
! Misija || Lagranžova tačka || Agencija || Status
! Мисија || Лагранжова тачка || Агенција || Статус
|-
| [[НапредниNapredni истраживачistraživač саставаsastava]] ({{језjez-енглengl|Advanced Composition Explorer, ACE}}) || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>1</sub> || [[НАСАNASA]] || ОперативанOperativan
|-
| [[СоларнаSolarna иi хелиосферскаheliosferska опсерваторијаopservatorija]] || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>1</sub> || НАСАNASA || ОперативанOperativan
|-
| [[ВетарVetar (НАСАNASA)]] (глобалниglobalni геосвемирскиgeosvemirski сателитsatelit) || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>1</sub> || НАСАNASA || ОперативанOperativan
|-
| [[ПостањеPostanje (НАСАNASA)|ПостањеPostanje]] || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>1</sub> || НАСАNASA || МисијаMisija завршенаzavršena, напустилаnapustila -{L}-<sub>1</sub> тачкуtačku
|-
| [[МеђународниMeđunarodni истраживачistraživač кометаkometa]] ({{језjez-енглengl|International Sun/Earth Explorer 3 (ISEE-3)}} || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>1</sub> || НАСАNASA || ОригиналнаOriginalna мисијаmisija завршенаzavršena, напустилаnapustila -{L}-<sub>1</sub> тачкуtačku
|-
|[[КлиматскаKlimatska опсерваторијаopservatorija дубокогdubokog свемираsvemira]] || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>1</sub> || НАСАNASA || НаNa чекањуčekanju
|-
| -{Solar-C}- || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>1</sub> || ЈапанскаJapanska агенцијаagencija заza свемирскаsvemirska истраживањаistraživanja || МисијаMisija могућаmoguća послеposle [[2010]].
|-
| [[ВилкинсоноваVilkinsonova сондаsonda заza микроталаснуmikrotalasnu анизотропијуanizotropiju]] || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>2</sub> || НАСАNASA || ОперативанOperativan
|-
| [[ПланковPlankov сателитsatelit]] || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>2</sub> || [[ЕСАESA]] || ЛансирањеLansiranje планираноplanirano заza пролећеproleće 2009.
|-
|[[ХершеловаHeršelova свемирскаsvemirska опсерваторијаopservatorija]] || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>2</sub> || ЕСАESA || ЛансирањеLansiranje планираноplanirano заza пролећеproleće [[2009]]. (заједноzajedno саsa ПланковимPlankovim СателитомSatelitom)
|-
|[[ЏејмсDžejms ВебVeb свемирскиsvemirski телескопteleskop]] || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>2</sub> || НАСАNASA, ЕСАESA, КанадскаKanadska свемирскаsvemirska агенцијаagencija || ЛансирањеLansiranje планираноplanirano заza јунjun [[2013]]. илиili каснијеkasnije
|-
| [[СМАРТSMART-1]] (МалаMala мисијаmisija заza напреднаnapredna технолошкаtehnološka истраживањаistraživanja) || МесецMesec-ЗемљаZemlja -{L}-<sub>1</sub> (пролетprolet) || ЕСАESA || МисијаMisija завршенаzavršena, намерноnamerno срушенаsrušena наna МесецMesec
|-
|[[СунчеваSunčeva сенкаsenka]] || ЗемљаZemlja-СунцеSunce -{L}-<sub>2</sub> || - || РазличитиRazličiti предлозиpredlozi
|-
|[[НовиNovi хоризонтиhorizonti]] || СунцеSunce-НептунNeptun -{L}-<sub>5</sub> (пролетprolet) || НАСАNASA || ЛансиранLansiran, планираноplanirano даda стигнеstigne [[1. августavgust]]аa [[2014]]
|}
==ВидиVidi јошjoš==
*[[Ojlerov problem tri tela]]
*[[Ојлеров проблем три тела]]
*[[Spisak tela u Lagranžovim tačkama]]
*[[Списак тела у Лагранжовим тачкама]]
*[[Mesečev svemirski lift]]
*[[Месечев свемирски лифт]]
*[[Potkovičasta orbita]]
*[[Потковичаста орбита]]
*[[ХиловаHilova сфераsfera]]
==Beleške i izvori==
==Белешке и извори==
{{извориizvori}}
== СпољашњеSpoljašnje везеveze ==
{{commonscat|Lagrange points}}
*[http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.html ОбјашњењеObjašnjenje ЛагранжовихLagranžovih тачакаtačaka] – НилNil ЏDž КорнишKorniš {{енen}}
*[http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm/ob_techorbit1.html насиноnasino објашњењеobjašnjenje] – приписаноpripisano НилуNilu ЏDž КорнишуKornišu {{енen}}
*[http://math.ucr.edu/home/baez/lagrange.html ОбјашњењеObjašnjenje ЛагранжовихLagranžovih тачакаtačaka] – ЏонDžon БаезBaez {{енen}}
*[http://www.merlyn.demon.co.uk/gravity4.htm ГеометријаGeometrija иi прорачуниproračuni ЛагранжовихLagranžovih тачакаtačaka] – ЏDž РR СтоктонStokton {{енen}}
*[http://www.phy6.org/stargaze/Slagrang.htm МестаMesta ЛагранжовихLagranžovih тачакаtačaka, саsa апроксимацијамаaproksimacijama] – ДејвидDejvid ПитерPiter СтернStern {{енen}}
*[http://orbitsimulator.com/formulas/LagrangePointFinder.html МрежниMrežni калкулаторkalkulator заza рачунањеračunanje тачкогtačkog положајаpoložaja свихsvih 5 ЛагранжовихLagranžovih тачакаtačaka уu системуsistemu билоbilo којаkoja 2 телаtela] – ТониToni ДанDan {{енen}}
[[Kategorija:Nebeska mehanika]]
[[Категорија:Небеска механика]]
[[Kategorija:Astronomija]]
[[ar:نقاط لاغرانج]]
[[bg:Точки на Лагранж]]
| 