Ubrzanje – razlika između verzija

'''Ubrzanje''' ili '''akceleracija''' u [[fizika|fizici]] opisuje kako se mijenja [[brzina]] [[gibanje|gibanja]]. U svakodnevnom govoru iste riječi opisuju kako se mijenja brzina odvijanja bilo kakvog procesa; no, tu pojam nije precizno definiran nego samo podrazumijeva povećavanje brzine (npr. "treba ubrzati postupak...").

 

 

Najjednostavnije je opisivati ubrzanje i brzinu gibanja točke. Takav se opis odnosi i na tijela kojima su dimenzije zanemarivo male (čestice) i na kruta tijela koja ne rotiraju, tj. gibaju se samo translacijski. Ako tijelo još i rotira, njegove različite točke imaju različita ubrzanja. Tada se pojam ''ubrzanje tijela'' odnosi na ubrzanje njegovog [[centar masa|centra masa]] (a kaže se još da je to translacijsko ili linearno ubrzanje), a usto se još promatra i [[kutno ubrzanje]].

U ovome tekstu opisuje se samo ubrzanje točke (čestice), tj. samo translacijsko ubrzanje.

 

'''Ubrzanje''' je derivacija brzine po vremenu:<ref>Young H. D., Freedman R. A., Sears and Zemansky University Physics, Addison-Wesley, San Francisco (2004)</ref>

 

gdje je <math>\scriptstyle \vec v_0</math> brzina u trenutku <math>\scriptstyle t_0</math> (tzv. početna brzina). (A potom se iz brzine može odrediti jednadžba putanje ili pređeni put. Ako se umjesto materijalne točke promatra tijelo, navedena razmatranja odnose se na gibanje njegovog centra masa.)

 

 

Za gore navedenu definiciju ponekad se kaže da opisuje ''trenutno'' ili ''pravo'' ubrzanje. Ti se termini koriste (umjesto jednostavnog naziva ''ubrzanje'') kada se želi naglasiti razlika u odnosu na '''prosječno''' ili '''srednje''' ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_{pr} </math>, koje se definira kao omjer promjene brzine i vremenskog intervala u kojemu se brzina promijenila:

::: <math> \vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \lim_{ \Delta t \to 0}\frac{ \Delta \vec v}{\Delta t} \,\!</math>.

 

'''Najjednostavnija definicija ubrzanja''', koja je dobro polazište za razumijevanje pojma, jest uobičajena definicija iz osnovne škole: "Ubrzanje je promjena brzine u jedinici vremena”. Pritom se obično promatra pravocrtno gibanje, pa se riječ ''brzina'' odnosi samo na iznos brzine (jer ne mijenja smjer) a i riječ ''ubrzanje'' samo na iznos ubrzanja. Takva definicija vrlo nepotpuno opisuje ubrzanje: to je samo broj koji je jednak prosječnom iznosu ubrzanja u toj jedinici vremena.

 

No ako promatramo jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje, kod kojega se iznos ubrzanja ne mijenja, onda je on doista jednak prosječnom iznosu, i računa se tako da se promjena brzine podjeli s vremenom. Npr. ako za 3 sekunde brzina naraste s 5 m/s na 17 m/s, ukupna promjena je 12 m/s, a ubrzanje se dobiva dijeljenjem (12 m/s) : (3 s) = 4 m/s², i označava da brzina naraste za 4 m/s svake sekunde. Odatle se vidi i da je [[metar u sekundi na kvadrat]] ('''m/s²''') [[mjerna jedinica]] za ubrzanje u [[SI]] sustavu

 

[[Datoteka:akc sila tang norm.JPG|desno|mini|300px|Rastav sile i ubrzanja na tangencijalnu i normalnu komponentu]]

U svakoj točki proizvoljno zakrivljene putanje neke materijalne čestice može se njezino ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a</math> rastaviti na dvije komponente: na tangencijalno ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_t</math> koje je paralelno s tangentom na putanju, i na normalno ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_n</math> koje je u smjeru normale na putanju. Na skici desno prikazano je u gornjem dijelu ukupno ubrzanje (i sila <math>\scriptstyle \vec F</math> koja ga uzrokuje), a u donjem dijelu to ubrzanje rastavljeno je na tangencijalnu i normalnu komponentu (kao i sila). Prikazane su i tangenta i normala (''t'' i ''n'') kao koordinatne osi: tangenta je u smjeru brzine <math>\scriptstyle \vec v</math>, a normala je okomita na tangentu, leži u ravnini koju određuju brzina i ukupno ubrzanje, i usmjerena je prema "udubljenom" dijelu putanje. (Uobičajeno korištenje istog slova ''t'' i za tangentu i za vrijeme ne bi smjelo dovesti do zabune: ono se u tekstu odnosi na tangentu samo ako je indeks tangencijalnog vektora ili komponente.)

Nasuprot tome, normalna sila okomita je na brzinu: ona ne povećava brzinu jer ne vuče nimalo prema naprijed, niti umanjuje brzinu jer ne vuče nimalo prema natrag. A ipak mijenja brzinu jer daje čestici ubrzanje (normalno ubrzanje). Budući da nema promjene iznosa brzine, očito je da to mora biti promjena smjera brzine.

 

Formule za tangencijalno i normalno ubrzanje mogu se dokazati deriviranjem brzine ako se ona prikaže kao umnožak iznosa i jediničnog vektora

 

Odmah se vidi da lijevi pribrojnik izgleda kao ranije definirana tangencijalna komponenta ubrzanja. No, da bi se to dokazalo, treba pokazati da je desni pribrojnik jednak normalnoj komponenti ubrzanja. U tu svrhu treba objasniti što se dobiva deriviranjem jediničnog vektora <math>\scriptstyle \vec u_t</math> u desnom pribrojniku.

 

[[Datoteka:unit vector derivative.JPG|desno|mini|300px|Derivacija jediničnog vektora]]

Derivacija bilo kojeg jediničnog vektora <math>\scriptstyle \vec u</math> mora biti okomita na njega, kako se vidi iz skice desno, koja prikazuje promjenu <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> nekog jediničnog vektora u vremenskom intervalu <math>\scriptstyle \Delta t </math>. Na skici je ta promjena približno okomita na jedinični vektor, a u graničnom prijelazu kada vremenski interval teži nuli (kad se računa derivacija), promjena <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> postaje točno okomita na jedinični vektor (i to u smjeru njegova zakretanja). Iznos derivacije dobije se tako da se iznos promjene <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> podijeli s <math>\scriptstyle \Delta t </math> i provede granični prijelaz u kojemju vremenski interval teži nuli. Na skici se vidi da je iznos promjene <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> približno jednak duljini kružnoga luka kojega prekriva, a u graničnom prijelazu postaju točno jednaki. Duljina tog dijela kružnoga luka jednaka je kutu zakreta <math>\scriptstyle \Delta \varphi </math> kako slijedi iz definicije kuta u [[radijan]]ima (luk kroz polumjer), budući da je iznos polumjera jednak 1 (iznos jediničnog vektora). Dakle, iznos derivacije jediničnog vektora je granična vrijednost <math>\scriptstyle {{\Delta \varphi} \over {\Delta t}}</math>, a to je iznos kutne brzine zakretanja jediničnog vektora <math>\scriptstyle \omega = {{d \varphi} \over {dt}}</math>.

:::<math> v{d\vec{u_t} \over dt} = \vec a_n = v\omega \vec u_n </math> .

 

Kod [[kružno gibanje|kružnog gibanja]] iznos kutne brzine <math>\scriptstyle \omega</math> jednak je omjeru iznosa brzine i polumjera kružnice, <math>\scriptstyle \omega = v/r </math>. Tu kutna brzina opisuje zakretanje polumjera (radij-vektora) povučenog do točke koja se giba po kružnici. No, ista kutna brzina opisuje i zakretanje vektora brzine točke, jer je taj vektor stalno okomit na polumjer kružnice. Zato se normalna komponenta ubrzanja može izraziti preko iznosa brzine i polumjera: <math>\scriptstyle a_n = v \omega = {v^2 \over r}</math>.

 

:::<math>\vec a_n = {v^2 \over r_k} \vec u_n </math>.

 

[[Datoteka:akc tang norm.JPG|desno|mini|440px|Rastav promjene brzine na tangencijalnu i normalnu komponentu]]

Prethodni izvod orijentiran je na matematičku korektnost i potpunost, pa mu zato nedostaje neposrednog geometrijskog zora. Na skici desno, međutim, zorno je prikazano gibanje točke po krivulji tako da se vide vektori položaja i brzine na početku i na kraju vremenskog intervala <math>\scriptstyle \Delta t</math> (lijeva strana skice), kao i promjena brzine <math>\scriptstyle\Delta \vec{v}=\vec v (t+ \Delta t)-\vec v (t)</math> na desnoj strani skice. Pritom je promjena brzine rastavljena na tangencijalnu i normalnu komponentu:

Odatle je jasno da je skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja jednaka derivaciji iznosa brzine po vremenu - te da je pozitivna kad se brzina povećava, a negativna kad se brzina umanjuje. Skalarna normalna komponenta ubrzanja uvijek je pozitivna, jer se brzina zakreće u smjeru normale. Njezin iznos, međutim, određuje se na temelju gornjeg formalnog izvoda, ili na temelju analize kružnog gibanja. (Ipak, i sa skice se razabire da taj iznos treba biti jednak <math>\scriptstyle v \omega </math>, zato što je iznos <math>\scriptstyle \Delta \vec v_n </math> približno jednak umnošku iznosa brzine i kuta njezinoga zakretanja.)

 

Ubrzano gibanje po pravcu i jednoliko gibanje po kružnici zanimljivi su primjeri zato što sadrže samo jednu od opisanih komponenata ubrzanja. Kod gibanja po pravcu, to je samo tangencijalno ubrzanje (jer brzina ne mijenja smjer). Kod jednolikog gibanja po kružnici, to je samo normalno ubrzanje (jer brzina ne mijenja iznos), a ono se na kružnici naziva ''centripetalnim'' ili ''radijalnim'' ubrzanjem.