Ubrzanje – razlika između verzija
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
dopuna |
|||
Red 1:
{{Klasična mehanika}}
[[datoteka:Gravity gravita grave.gif|mini|300px|desno|Uobičajeno je da se [[slobodni pad]] uzima kao primjer [[Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu|jednolikog ubrzanog gibanja]] (gibanja sa stalnim ubrzanjem). Pritom se pretpostavlja da nema otpora [[zrak]]a ili [[trenje|trenja]].]]
[[datoteka:Oscillating pendulum.gif|mini|desno|300px|[[Animacija]] [[njihalo|njihala]] prikazuje [[vektor]]e [[brzina|brzine]] i [[akceleracija|akceleracije]] (''v'' i ''a'').]]
[[datoteka:Orbital motion.gif|mini|desno|300px|Crtež pokazuje kružno [[gibanje]] ili [[vrtnja|vrtnju]] [[satelit]]a oko [[Zemlja|Zemlje]], prikazujući [[vektor]]e [[Orbitalna brzina|orbitalne ili obodne brzine satelita]] ''v'' i [[Centrifugalna i centripetalna sila|centripetalno]] ili ubrzanje ''a''.]]
Najjednostavnije je opisivati ubrzanje i brzinu gibanja točke. Takav se opis odnosi i na tijela kojima su dimenzije zanemarivo male (čestice) i na kruta tijela koja ne rotiraju, tj. gibaju se samo translacijski. Ako tijelo još i rotira, njegove različite točke imaju različita ubrzanja. Tada se pojam ''ubrzanje tijela'' odnosi na ubrzanje njegovog [[centar masa|centra masa]] (a kaže se još da je to translacijsko ili linearno ubrzanje), a usto se još promatra i [[kutno ubrzanje]].<ref>{{cite book |title=Relativity and Common Sense |first=Hermann |last=Bondi |pages=3 |publisher=Courier Dover Publications |year=1980 |isbn=0-486-24021-5}}</ref><ref>{{cite book |title=Physics the Easy Way |pages=27 |first=Robert L. |last=Lehrman |publisher=Barron's Educational Series |year=1998 |isbn=0-7641-0236-2}}</ref>▼
'''Ubrzanje''' ili '''akceleracija''' (oznaka ''a'') je [[vektor]]ska [[fizikalna veličina]] koja opisuje promjenu [[brzina|brzine]] s [[Vrijeme (fizika)|vremenom]], a određena je [[Derivacija|derivacijom]] brzine ''v'' po vremenu ''t'':
Ubrzanje opisuje promjenu iznosa brzine (povećavanje ili smanjivanje) ili smjera brzine ili oboje. Za smanjivanje brzine koriste se još izrazi '''deceleracija''' i '''retardacija'''. Ako je ubrzanje stalno, gibanje se naziva [[Jednoliko ubrzano gibanje po pravcu|jednoliko ubrzanim]], jednoliko usporenim, odnosno [[Jednoliko gibanje po kružnici|jednolikim kružnim gibanjem]]. [[Mjerna jedinica]] ubrzanja jest [[metar u sekundi na kvadrat]] (m/s<sup>2</sup>). Ako se vektoru brzine mijenja samo smjer, kao na primjer u [[Jednoliko gibanje po kružnici|jednolikom kružnom gibanju]], to se ubrzanje naziva [[kutno ubrzanje]] ili kutna akceleracija. <ref> '''ubrzanje (akceleracija)''', [http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=62920] "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2016.</ref>
▲Najjednostavnije je opisivati ubrzanje i brzinu gibanja [[Materijalna točka|materijalne točke]]. Takav se opis odnosi i na tijela kojima su dimenzije zanemarivo male (čestice) i na kruta tijela koja ne rotiraju,
== Formalna definicija ==
'''Ubrzanje''' je derivacija brzine po vremenu:<ref>Young H. D., Freedman R. A., Sears and Zemansky University Physics, Addison-Wesley, San Francisco (2004)</ref>
Simbol <math>\scriptstyle \vec a</math> označava ubrzanje (''a'' je prvo slovo riječi ''akceleracija'' koja je [[Latinski jezik|latinskog porijekla]]), simbol <math>\scriptstyle \vec v</math> označava brzinu; i jedna i druga veličina su funkcije vremena ''t'' (što se podrazumijeva, pa se ne mora eksplicitno navesti). Ubrzanje opisuje kako se brzo i u kojemu smjeru mijenja brzina u pojedinom trenutku. Budući da je brzina vektorska veličina koja može mijenjati i iznos i smjer, ubrzanje istovremeno opisuje i jednu i drugu promjenu. No, one se mogu razdvojiti tako da se zasebno promatraju tangencijalno i normalno ubrzanje
Analiza gibanja u [[dinamika|dinamici]] često polazi od [[Newtonovi zakoni gibanja|2. Newtonovog aksioma]], koji (u nerelativističkoj aproksimaciji) glasi:
gdje je <math>\scriptstyle \vec v_0</math> brzina u trenutku <math>\scriptstyle t_0</math> (
==
Za gore navedenu definiciju ponekad se kaže da opisuje ''trenutno'' ili ''pravo'' ubrzanje. Ti se
:<math> \vec a_{pr}={\Delta\vec{v} \over \Delta t}</math>
▲Za gore navedenu definiciju ponekad se kaže da opisuje ''trenutno'' ili ''pravo'' ubrzanje. Ti se termini koriste (umjesto jednostavnog naziva ''ubrzanje'') kada se želi naglasiti razlika u odnosu na '''prosječno''' ili '''srednje''' ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_{pr} </math>, koje se definira kao omjer promjene brzine i vremenskog intervala u kojemu se brzina promijenila:
gdje simbol <math>\scriptstyle \Delta </math> označava promjenu,
▲::::<math> \vec a_{pr}={\Delta\vec{v} \over \Delta t}</math>
▲gdje simbol <math>\scriptstyle \Delta </math> označava promjenu, tj. razliku između kasnije i ranije vrijednosti. Tu je <math>\scriptstyle \Delta \vec v = \vec v(t_2) - \vec v(t_1) </math> promjena brzine od trenutka <math>\scriptstyle t_1 </math> do trenutka <math>\scriptstyle t_2 </math>, dok je <math>\scriptstyle \Delta t=t_2-t_1</math> vremeski interval (proteklo vrijeme) između ta dva trenutka.
Tijekom promatranog vremenskog intervala točka (ili tijelo) je mogla kojekako ubrzavati i usporavati svoje gibanje, pa će se istim postupkom dobiti različita prosječna ubrzanja u kraćim vremenskim podintervalima, što ograničava upotrebnu vrijednost prosječnog ubrzanja na zadani vremenski interval (i njegov zadani početni trenutak).
Nasuprot tome, "pravo" ubrzanje ("trenutno") ne ovisi o vremenskom intervalu jer se dobiva njegovim zamišljenim skraćivanjem na "beskonačno mali interval" oko pojedinog trenutka. Postupak se općenito (u različitim primjenama) naziva graničnim prijelazom i definira pojam [[derivacija|derivacije]]. Trenutno ubrzanje je derivacija brzine po vremenu,
:
=== Definicija "promjena brzine u jedinici vremena" ===
'''Najjednostavnija definicija ubrzanja''', koja je dobro polazište za razumijevanje pojma, jest uobičajena definicija iz osnovne škole:
No ako promatramo jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje, kod kojega se iznos ubrzanja ne mijenja, onda je on doista jednak prosječnom iznosu, i računa se tako da se promjena brzine podjeli s vremenom.
== Tangencijalno i normalno ubrzanje ==
[[
U svakoj točki proizvoljno zakrivljene putanje neke materijalne čestice može se njezino ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a</math> rastaviti na dvije komponente: na tangencijalno ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_t</math> koje je paralelno s tangentom na putanju, i na normalno ubrzanje <math>\scriptstyle \vec a_n</math> koje je u smjeru normale na putanju. Na skici desno prikazano je u gornjem dijelu ukupno ubrzanje (i sila <math>\scriptstyle \vec F</math> koja ga uzrokuje), a u donjem dijelu to ubrzanje rastavljeno je na tangencijalnu i normalnu komponentu (kao i sila). Prikazane su i tangenta i normala (''t'' i ''n'') kao koordinatne osi: tangenta je u smjeru brzine <math>\scriptstyle \vec v</math>, a normala je okomita na tangentu, leži u ravnini koju određuju brzina i ukupno ubrzanje, i usmjerena je prema "udubljenom" dijelu putanje. (Uobičajeno korištenje istog slova ''t'' i za tangentu i za vrijeme ne bi smjelo dovesti do zabune: ono se u tekstu odnosi na tangentu samo ako je indeks tangencijalnog vektora ili komponente.)
'''Tangencijalno ubrzanje''' opisuje kako se brzo mijenja iznos brzine:
Tu je <math>\scriptstyle a_t</math> skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja, dok je <math>\scriptstyle v</math> iznos brzine.
Linija 52 ⟶ 57:
'''Normalno ubrzanje''' opisuje kako se brzo mijenja smjer brzine:
Tu je <math>\scriptstyle a_n</math> skalarna normalna komponenta ubrzanja, <math>\scriptstyle v</math> je iznos brzine, dok je <math>\scriptstyle r_k</math> radijus zakrivljenosti putanje u promatranoj točki.
Linija 58 ⟶ 63:
Na skici su prikazane vektorske komponente, a u gornjem tekstu se koriste skalarne komponente. Odnos između njih i ukupnog ubrzanja je sljedeći:
Tu je <math>\scriptstyle \vec u_t</math> jedinični vektor u smjeru tangente (dakle, i u smjeru brzine), dok je <math>\scriptstyle \vec u_n</math> jedinični vektor u smjeru normale (jedinični vektori imaju iznos jednak 1). Kada se skalarna komponenta pomnoži s jediničnim vektorom, dobije se vektorska komponenta, npr. <math>\scriptstyle \vec a_t = a_t \vec u_t </math>.
Linija 68 ⟶ 73:
Nasuprot tome, normalna sila okomita je na brzinu: ona ne povećava brzinu jer ne vuče nimalo prema naprijed, niti umanjuje brzinu jer ne vuče nimalo prema natrag. A ipak mijenja brzinu jer daje čestici ubrzanje (normalno ubrzanje). Budući da nema promjene iznosa brzine, očito je da to mora biti promjena smjera brzine.
===
Formule za tangencijalno i normalno ubrzanje mogu se dokazati deriviranjem brzine ako se ona prikaže kao umnožak iznosa i jediničnog vektora:
Jedinični vektor tangente <math>\scriptstyle \vec u_t</math> ima smjer brzine, i može se dobiti tako da se brzina podijeli sa svojim iznosom (zato što je njegov iznos jednak 1). Deriviranjem gornjeg izraza za brzinu, prema pravilu deriviranja umnoška, dobije se:
Odmah se vidi da lijevi pribrojnik izgleda kao ranije definirana tangencijalna komponenta ubrzanja. No, da bi se to dokazalo, treba pokazati da je desni pribrojnik jednak normalnoj komponenti ubrzanja. U tu svrhu treba objasniti što se dobiva deriviranjem jediničnog vektora <math>\scriptstyle \vec u_t</math> u desnom pribrojniku.
====
[[Datoteka:unit vector derivative.JPG|desno|mini|300px|Derivacija jediničnog vektora.]]
Derivacija bilo kojeg jediničnog vektora <math>\scriptstyle \vec u</math> mora biti okomita na njega, kako se vidi iz skice desno, koja prikazuje promjenu <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> nekog jediničnog vektora u vremenskom intervalu <math>\scriptstyle \Delta t </math>. Na skici je ta promjena približno okomita na jedinični vektor, a u graničnom prijelazu kada vremenski interval teži nuli (kad se računa derivacija), promjena <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> postaje točno okomita na jedinični vektor (i to u smjeru njegova zakretanja). Iznos derivacije dobije se tako da se iznos promjene <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> podijeli s <math>\scriptstyle \Delta t </math> i provede granični prijelaz u kojemju vremenski interval teži nuli. Na skici se vidi da je iznos promjene <math>\scriptstyle \Delta \vec u</math> približno jednak duljini kružnoga luka kojega prekriva, a u graničnom prijelazu postaju točno jednaki. Duljina tog dijela kružnoga luka jednaka je kutu zakreta <math>\scriptstyle \Delta \varphi </math> kako slijedi iz definicije kuta u [[radijan]]ima (luk kroz polumjer), budući da je iznos polumjera jednak 1 (iznos jediničnog vektora). Dakle, iznos derivacije jediničnog vektora je granična vrijednost <math>\scriptstyle {{\Delta \varphi} \over {\Delta t}}</math>, a to je iznos kutne brzine zakretanja jediničnog vektora <math>\scriptstyle \omega = {{d \varphi} \over {dt}}</math>.
Odatle se vidi da desni pribrojnik gornje jednadžbe za ubrzanje ima smjer jediničnog vektora normale <math>\scriptstyle \vec u_n</math> te da ima iznos <math>\scriptstyle v \omega </math>. To je, dakle, doista normalna komponenta ubrzanja, i ona ima oblik:
====
Kod [[kružno gibanje|kružnog gibanja]] iznos kutne brzine <math>\scriptstyle \omega</math> jednak je omjeru iznosa brzine i polumjera kružnice, <math>\scriptstyle \omega = v/r </math>. Tu kutna brzina opisuje zakretanje polumjera (radij-vektora) povučenog do točke koja se giba po kružnici. No, ista kutna brzina opisuje i zakretanje vektora brzine točke, jer je taj vektor stalno okomit na polumjer kružnice. Zato se normalna komponenta ubrzanja može izraziti preko iznosa brzine i polumjera: <math>\scriptstyle a_n = v \omega = {v^2 \over r}</math>.
Po analogiji s kružnim gibanjem, i kod gibanja po krivulji opisuje se zakretanje vektora brzine pomoću iznosa brzine, i to relacijom <math>\scriptstyle \omega = v/r_k </math>. Ta relacija zapravo definira polumjer zakrivljenosti <math>\scriptstyle r_k </math> krivulje u promatranoj točki. Polumjer zakrivljenosti krivulje je polumjer tzv. oskulatorne kružnice, a to je kružnica koja najbolje prianja uz krivulju u toj točki (imaju jednaku zakrivljenost). Definiranje polumjera zakrivljenosti omogućuje da se normalna komponenta ubrzanja na krivulji izrazi na sličan način kao na kružnici:
===
[[Datoteka:akc tang norm.JPG|desno|mini|440px|Rastav promjene brzine na tangencijalnu i normalnu komponentu.]]
Prethodni izvod orijentiran je na matematičku korektnost i potpunost, pa mu zato nedostaje neposrednog geometrijskog zora. Na skici desno, međutim, zorno je prikazano gibanje točke po krivulji tako da se vide vektori položaja i brzine na početku i na kraju vremenskog intervala <math>\scriptstyle \Delta t</math> (lijeva strana skice), kao i promjena brzine <math>\scriptstyle\Delta \vec{v}=\vec v (t+ \Delta t)-\vec v (t)</math> na desnoj strani skice. Pritom je promjena brzine rastavljena na tangencijalnu i normalnu komponentu:
Ubrzanje je derivacija brzine po vremenu, tj. granična vrijednost omjera promjene brzine <math>\scriptstyle \Delta \vec v</math> i pripadnog vremenskog intervala <math>\scriptstyle \Delta t</math> kada vremenski interval teži nuli:
:
I bez punog matematičkog formalizma, može se razumjeti kako lijevi pribrojnik daje tangencijalnu komponentu a desni normalnu komponentu ubrzanja. Iz skice je očito da <math>\scriptstyle \Delta \vec v_t </math> samo mijenja iznos brzine (u prikazanom primjeru povećava brzinu). Smjer brzine mijenja samo komponenta <math>\scriptstyle \Delta \vec v_n </math>, ali ona malo doprinosi i promjeni iznosa, jer prevodi katetu <math>\scriptstyle (\vec v(t) + \Delta \vec v_t) </math> pravokutnog trokuta u hipotenuzu <math>\scriptstyle \vec v (t+ \Delta t) </math>. Međutim, kada u graničnom prijelazu <math>\scriptstyle \Delta t</math> teži prema nuli (kod izračuna ubrzanja), taj pravokutni trokut postaje jednakokračan, pa <math>\scriptstyle \Delta \vec v_n </math> mijenja samo smjer vektora brzine.<ref>[http://www.scribd.com/doc/40272543/Levanat-Kinematika-i-dinamika I. Levanat: Fizika za TVZ - Kinematika i dinamika] Tehničko veleučilište u Zagrebu (2010)</ref>
Linija 108 ⟶ 113:
Odatle je jasno da je skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja jednaka derivaciji iznosa brzine po vremenu - te da je pozitivna kad se brzina povećava, a negativna kad se brzina umanjuje. Skalarna normalna komponenta ubrzanja uvijek je pozitivna, jer se brzina zakreće u smjeru normale. Njezin iznos, međutim, određuje se na temelju gornjeg formalnog izvoda, ili na temelju analize kružnog gibanja. (Ipak, i sa skice se razabire da taj iznos treba biti jednak <math>\scriptstyle v \omega </math>, zato što je iznos <math>\scriptstyle \Delta \vec v_n </math> približno jednak umnošku iznosa brzine i kuta njezinoga zakretanja.)
▲== Jednostavni slučajevi: ubrzanje na pravcu i na kružnici ==
Ubrzano gibanje po pravcu i jednoliko gibanje po kružnici zanimljivi su primjeri zato što sadrže samo jednu od opisanih komponenata ubrzanja. Kod gibanja po pravcu, to je samo tangencijalno ubrzanje (jer brzina ne mijenja smjer). Kod jednolikog gibanja po kružnici, to je samo normalno ubrzanje (jer brzina ne mijenja iznos), a ono se na kružnici naziva ''centripetalnim'' ili ''radijalnim'' ubrzanjem.
|