Teorija kategorija – razlika između verzija

'''Teorija kategorija''' je grana matematike koja se bavi organiziranjem matematičkih struktura u tzv. kategorije i ispitivanjem matematičkih entiteta sa stanovišta teorije kategorija. Osnovali su je [[Saunders MacLane]] i [[Samuel Eilenberg]] u epohalnom radu 1944. godine. Osnovna filozofija je da se matematički objekti ne mjere sami po sebi, po svojem unutarnjem izgledu, nego odnosom prema svim sličnim objektima, s kojima zajedno čine neku prirodnu kategoriju. Ti odnosi među objektima opisuju se preko usmjerenih strelica, koje su neka vrsta apstraktnih [[preslikavanje (matematika)funkcija|preslikavanja]] među objektima, koji se nazivaju '''morfizmi'''. Morfizmi se mogu asocijativno komponirati kad god to ima smisla, tj. kad [[kodomena]] prvog preslikavanja odgovara [[domena (matematika)|domeni]] drugog.

[[Alexander Grothendieck|Alexandre Grothendieck]] uveo je pojam [[ekvivalencija kategorija|ekvivalencije kategorija]], koja je pojam slabiji od izomorfizma kategorija i koji je prirodniji za 2-kategorije, pa tako i za 2-kategoriju Cat kategorija. Zapravo pokazuje se da se tako može nastaviti i doći do sve oslabljenijih tipova "jednakosti". Počevši od jednakosti unutar skupa, preko izomorfizama na nivou objekata unutar kategorije, pa ekvivalencije objekata u 2-kategoriji, do 2-ekvivalencije u 3-kategoriji i tako dalje. To podsjeća na pojam [[homotopija|homotopije]] u [[algebarska topologija|algebarskoj topologiji]]. Naime, homotopija se može gledati kao morfizam među neprekidnim preslikavanjima. No može se gledati i homotopija među homotopijama i tako dalje, uvodeći više homotopije. To vodi području koje je između teorije kategorija i apstraktne teorije homotopija, a to je '''teorija viših kategorija'''. Pri tome je teorija striktnih viših kategorija mnogo jednostavnija od onih važnijih, slabih, u kojima je asocijativnost kompozicija (kojih ima više u višim kategorijama) do na koherencije, koje opet imaju svoje koherencije i tako dalje, što jako usložnjava njihovu definiciju i proučavanje. No slabe više kategorije su važne jer većina važnih primjera viših kategorija vodi na njih, a ne na jednostavnije, slabe, kategorije.

U matematičkim istraživanjima, razvoj teorije viših kategorija je upravo sada u punom zamahu. Jedna od teškoća te teorije je postojanja više pristupa (formalizama) koji se tehnički dosta razlikuju i do nedavno je bilo vrlo nejasno koliko su sami ti pristupi međusobno ekvivalentni. Sada se ta pitanja znatno bolje razumiju nego prije desetak godina i teorija viših kategorija se sve više primjenjuje, i u teorijskoj fizici. Glavne ideje u teoriji viših kategorija razvili su [[Alexander Grothendieck|Alexandre Grothendieck]], [[André Joyal]], [[Ross Street]], [[Carlos Simpson]], Tom Leinster, Michael Batanin (Mihajl Batanjin), [[John Baez]], [[Bertrand Toen]], [[Maxim Kontsevich]] i [[Jacob Lurie]]. Na neke od pristupa izrazito je uticala teorija [[modelna kategorija|modelnih kategorija]] (za apstraktnu teoriju homotopija) [[David Quillen|Davida Quillena]], te [[simplicijalni skup|simplicijalne metode]] iz [[algebarska topologija|algebarske topologije]].