Grupa (matematika) – razlika između verzija

Mnoge strukture kojima se matematika bavi su u stvari grupe. Među njima su poznati brojevni sistemi, kao što su celi brojevi, [[racionalanracionalni broj|racionalni brojevi]]evi, [[realan broj|realni brojevi]], i [[kompleksan broj|kompleksni brojevi]] pod sabiranje, kao i racionalni brojevi različiti od nule, realni brojevi i kompleksni brojevi pod [[množenje]]m. Drugi važni primeri su grupe ne-singularnih [[matrica (matematika)|matrica]] pod množenjem, i grupa [[inverzna funkcija|invertibilnih funkcija]] pod slaganjem funkcija. Teorija grupa omogućava da se svojstva ovakvih struktura izučavaju u opštim slučajevima.

Teorija grupa ima široku primenu u matematici i drugim prirodnim naukama. Mnoge [[algebarska struktura|algebarske strukture]], kao što su [[polje (algebra)|polja]] i [[vektorski prostor]]i mogu koncizno da se definišu u terminima grupa, i teorija grupa pruža važne alate za proučavanje [[simetrija|simetrije]], jer simetrije svakog objekta grade grupu. Grupe su stoga ključne apstrakcije u granama fizike koje se tiču principa simetrije, kao što su [[teorija relativnosti|teorija relativiteta]], [[kvantna mehanika]], i [[fizika čestica]]. Štaviše, njihova mogućnost da predstave [[geometrija|geometrijske]] transformacije im donosi primenu u [[hemijakemija|hemiji]], [[računarstvo|računarstvu]], i drugim oblastima.

Grupa ''G'' je '''[[Abelova grupa]]''' (ili '''komutativna''') ako je operacija komutativna, to jest, za svako ''a'', ''b'' iz ''G'', ''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''. '''Ne-Abelova''' grupa je grupa koja nije Abelova. Abelove grupe su dobile ime po matematičaru [[NilsNiels Henrik Abel|Nilsu Abelu]].

Posmatrajmo skup [[racionalanracionalni broj|racionalnih brojeva]] '''Q''', skup svih razlomaka ''a''/''b'', gde su ''a'' i ''b'' celi brojevi, a ''b'' je različito od nule, i operacija množenja se označava sa "·". Kako racionalan broj [[0 (broj)|0]] nema multiplikativni inverz, ('''Q''', ·), kao ('''Z''', ·), nije grupa.