Otvori glavni meni

Izmjene

Dodano 6.378 bajtova ,  prije 4 godine
nema sažetka uređivanja
U modernoj [[matematika|matematici]], '''tačka''' se obično odnosi na [[element (matematika)|element]] nekih [[skup (matematika)|skupova]], zvanim [[prostor (matematika)|prostor]].
'''Tačka''' je u [[geometrija|geometriji]] entitet koji se nalazi u prostoru bez dužine i zapremine. U geometriji jedina informacija koju poseduje tačka je lokacija. Tačke se koriste kao jedan od osnovnih pojmova u geometriji, [[fizika|fizici]], vektorskoj grafici i u mnogim drugim poljima. U [[matematika|matematici]] uopšteno, se smatra da se bilo koja forma [[prostor]]a sastoji od tačaka kao osnovnih elemenata.
 
Preciznije, u [[Euklidska geometrija|Euklidskoj geometriji]], '''tačka''' je [[primitivni pojam]] na kojem je geometrija zasnovana. Bivajući primitivni pojam znači da tačka ne može biti definisana u smislu prethodno definisanih objekata. To jest, tačka je definisana jedino nekim osobinama, zvanim [[aksiom]]i koje mora zadovoljiti. Konkretno, geometrijska tačka nema bilo kakvu [[dužina|dužinu]], [[površina|površinu]], [[volumen]], ili bilo koju [[dimenzija|dimenzionalnu]] karakteristiku. Česta interpretacija je da je koncept tačke trebao uhvatiti pojam unikatne lokacije u [[Euklidski prostor|Euklidskom prostoru]].
== Tačke u Euklidovoj geometriji ==
 
== Tačke u EuklidovojEuklidskoj geometriji ==
Tačka u euklidovoj geometriji nema veličinu, pravac, smer, niti bilo koju drugu osobinu sem položaja. Na početku I knjige{{ref|Elementi1}} [[Euklid]]ovih ''[[Elemenata]]'' stoje sledeće definicije:
[[Datoteka:ACP 3.svg|thumb|Ograničen skup tačaka (plavo) u 2D [[Euklidski prostor|Euklidskom prostoru]].]]
;Definicija 1:Tačka je ono što nema delova.
Tačke, posmatrane u okviru [[Euklidska geometrija|Euklidske geometrije]], su jedan od najtemeljnijih objekata. [[Euklid]] je prvobitno definirao tačke kao "ono što nema dijela". U dvodimenzionalnom [[Euklidski prostor|Euklidskom prostoru]], tačka je predstavljena [[uređeni par|uređenim parom]] '''''(x, y)''''' brojeva, gdje prvi broj [[konvencija (norma)|konvencionalno]] predstavlja [[Horizontalna ravan|horizontalu]] i često se označava '''''x''''', a drugi broj konvencionalno predstavlja [[Vertikalna ravan|vertikalu]] i često se označava '''''y'''''. Ova ideja je lahko generalizirana za trodimenzionalni Euklidski prostor, gdje je tačka predstavljena kao uređena trojka '''''(x, y, z)''''' sa dodatnim trećim brojem koji označava dubinu i često se označava '''''z'''''. Daljne generalizacije su predstavljene kao uređeni tuplet ''n'' uvjeta, {{math|(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … , ''a''<sub>''n''</sub>)}}, gdje je ''n'' [[dimezija (matematika)|dimenzija]] prostora u kojem se tačka nalazi.
;Definicija 3:Krajevi linije su tačke.
 
Mnoge konstrukcije unutar euklidske geometrije sastoje se od [[neograničenost|neograničene]] kolekcije tačaka koje su u skladu sa određenim aksiomima. To se obično predstavlja [[Skup (matematika)|skupom]] tačaka; Kao primjer, [[linija (matematika)|linija]] je neograničen skup tačaka oblika <math>\scriptstyle {L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace}</math>, gdje su {{math|''c''<sub>1</sub>}} kroz {{math|''c<sub>n</sub>''}} i ''d'' konstante i ''n'' je dimenzija prostora. Slične konstrukcije postoje koje definiraju [[ravan (geometrija)|ravan]], [[linijski segment]] i ostale slične koncepte. Usput, [[degeneracija (matematika)|degenerisani]] linijski segment se sastoji od jedne tačke.
U traženju primata linije i tačke, Euklid navodi da je tačka osnovna, a linija je ono što sadrži tačke, dok Aristotel radije uzima liniju za osnovu, a tačka je ono što je na krajevima linije.
 
U dodatku sa definisanjem tačaka i oblika vezanih za tačke, Euklid je također uzeo kao istinito ključnu ideju o tačkama; tvrdio je da bilo koje dvije tačke mogu biti povezane pravcem. Ovo se lahko potvrđuje pod modernom ekspanzijom Euklidske geometrije, te ima trajne posljedice na svom predstavljanju, dopuštajući konstrukciju skoro svih geometrijskih koncepata vremena. Ipak, Euclidovi postulati tačaka nisu ni kompletni niti definitivni, jer je povremeno pretpostavljao činjenice o tačkama koje nisu slijedile direktno iz njegovih aksioma, poput redanja tačaka na liniju ili postojanje posebnih tačaka. Unatoč tome, moderne ekspanzije sistema služe za uklanjanje ovih pretpostavki.
Međutim postoje različiti prevodi i interpretacije Euklidove definicije, među kojima i sledeće:
"''Tačka je ono što nema pružanje''" kao najbolji prevod, ali nedovoljno jasan današnjem čitaocu originalne rečenice
:ά Σημετόν έστιν, οϋ μέρος ούθέν
 
== Dimenzija tačke ==
Definicija "''Tačka je ono što nema meru''" ne bi bila dobra jer tačka ima svoj položaj, a to jeste nekakva mera dužine (udaljenost od neke referentne tačke).
Postoji nekoliko neekvivalentnih definicija [[dimezija (matematika i fizika)|dimenzije]] u matematici. U svim općim definicijama, tačka je 0-dimenzionalna.
 
=== Dimenzija vektorskog prostora ===
U današnjem jeziku je najprisutnija i terminologiji najbliža sledeća definicija, u smislu interpretacije Euklida
{{Glavni|Dimenzija (vektorski prostor)}}
:"''Tačka je ono što nema dimenzije''".
 
Dimenzija vektorskog prostora je maksimalna veličina [[linearno nezavisno]]g podskupa. U vektorskom prostoru koji se sastoji od jedne tačke (koja ne smije biti nulti vektor '''0'''), ne postoji linearno nezavisan podskup. Nulti vektor nije po sebi linearno nezavisan, jer postoji netrivijalna linearna kombinacija koja ga čini nulom: <math>1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}</math>.
== Tačke u Kartezijanskoj geometriji ==
 
=== Topološka dimenzija ===
Lokacija tačke u prostoru može biti opisana sa tri realna broja koji predstavljaju koordinate u trodimenzionalnom prostoru. Na primer:
Topološka dimezija topološkog prostora ''X'' je definisana da bude minimalne vrijednosti ''n'', takva da je svaki ograničeni [[otvoreni interval]] <math>\mathcal{A}</math> od ''X'' priznaje ograničen otvoreni interval <math>\mathcal{B}</math> od ''X'' koji [[rafiniranje (topologija)|rafinira]] <math>\mathcal{A}</math> u kojem se tačka ne nalazi u više od ''n''+1 elemenata. Ako takav najmanji ''n'' ne postoji, za prostor se kaže da je od beskonačno-pokrivene dimenzije.
 
Tačka je nulte dimenzije sa poštovanjem pokrivenosti dimenzije jer svaki otvoreni interval prostora ima rafiniranje koje se sastoji od jednog otvorenog skupa.
:''P'' = (2,6,9).
 
=== Hausdorffova dimenzija ===
Na ovaj način tačka se može opisati i u višedimenzionalnom prostoru. Opis tačke je sličan opisu [[vektor]]a koji takođe može da postoji u višedimenzionalnom prostoru. Razlika između [[vektor]]a i tačke je u tome što vektor ima i pravac i dužinu, zato se podrazumeva da je početna tačka vektora (0,0,0).
Pustimo ''X'' da bude [[metrički prostor]]. Ako je ''S'' ⊂ ''X'' i ''d'' ∈ [0, ∞), ''d''-dimenzionalni '''Hausdorffov sadržaj''' od ''S'' je [[infimum]] skupa brojeva za δ ≥ 0 takvih da postoji neka (indeksirana) kolekcija [[metrički prostor|loptica]] <math>\{B(x_i,r_i):i\in I\}</math> koje pokrivaju ''S'' sa ''r<sub>i</sub>'' > 0 za svaki ''i'' ∈ ''I'' koji zadovoljava <math>\sum_{i\in I} r_i^d<\delta </math>.
 
'''Hausdorffova dimenzija''' ''X'' je definisana sa
== Tačka u prostoru dimenzije 2 ili veće ==
:<math>\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.</math>
Svaka '''tačka''' koja pripada prostoru dimenzije -{n}- se da predstaviti sa jednom uređenom -{n}--torkom skalara, koji pripadaju polju skalara nad kojim je izgrađen prostor a predstavljaju njene koordinate u tom prostoru. Tako bi na primer tačka -{P}- iz -{E<sup>n</sup>}- bila predstavljena kao -{P=(P<sub>1</sub>,P<sub>2</sub>,...,P<sub>n</sub>)}- pri čemu su -{P<sub>i</sub>}- iz -{E}-, -{i=1,..,n}-.
 
Tačka ima Hausdorffovu dimenziju 0 jer može biti pokrivena samo jednom loptom proizvoljno malog radijusa.
=== Rastojanje između dve tačke ===
Rastojanje između dve tačke iz prostora -{E<sup>n</sup>}- se u euklidovoj geometriji definiše kao zbir kvadrata razlika njihovih koordinata. Na primer:<br /><br />
 
== Geometrija bez tačaka ==
<math>A = (A_1,\dots ,A_n), B = (B_1,\dots ,B_n) \in E^n</math><br />
Iako je ideja tačke generalno smatrana temeljem u standardnoj geometriji i topologiji, postoje neki sistemi koji su je zaboravili, npr. [[nekomutativna geometrija]] i [[topologija bez tačke]]. Besmisleni i bez-tačke prostor nije definisan kao [[skup (matematika)|skup]], nego preko neke strukture ([[algebra|algebarske]] ili [[Heyting algebra|logične]] respektivno) što izgleda kao dobro poznata funkcija prostora u skupu: algebra [[neprekidna funkcija|neprekidnih funkcija]] ili [[algebra skupova]] respektivno. Preciznije, takve strukture generaliziraju dobro poznate prostore [[Funkcija (matematika)|funkcija]] u smislu da operacija "uzima vrijednost na ovoj tački" može da ne bude definisana.
<math>d(A,B) = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {(A_i-B_i)}^2}} = \sqrt{(A_1-B_1)^2 + \dots + (A_n-B_n)^2}</math>
Dalja tradicija počinje iz nekih knjiga autora [[A. N. Whitehead]] u kojima je pojam regije pretpostavljen kao primitiv zajedno sa onim iz ''inkluzije'' ili ''konekcije''.
 
== Masa tačaka i Diracova delta funkcija ==
== Bibliografija ==
{{Glavni|Diracova delta funkcija}}
* Anton Bilimović, ''Euklidovi Elementi'', ''Prva knjiga'', SANU, 1949
{{Commonscat|Points (mathematics)}}
 
Često u fizici i matematici, korisno je zamišljati kao da ima ne-nultu masu ili naboj (ovo je posebno često u [[elektromagnetizam|elektromagnetizmu]], gdje su elektroni idealizirani kao tačke sa ne-nultim nabojem). '''Diracova delta funkcija''', ili '''''δ'' funkcija''', jeste (neformalno) [[generalizirana funkcija]] realne brojne linije koja je nula svuda osim u nuli, sa [[integral]]om jednog na cijeloj realnoj liniji.<ref name=Dirac1958p58>{{harvnb|Dirac|1958|loc=§15 The δ function}}, p. 58</ref><ref>{{harvnb|Gel'fand|Shilov|1968|loc=Volume I, §§1.1, 1.3}}</ref><ref>{{harvnb|Schwartz|1950|p=3}}</ref> Delta funkcija se ponekad smatra kao beskonačno visoka, beskonačno tanak špic na izvoru, sa ukupnom površinom jedan ispod špica, te fizikalno predstavlja idealiziranu [[tačkasta masa|tačkastu masu]] ili [[tačkasti naboj]].<ref>{{harvnb|Arfken|Weber|2000|p=84}}</ref> Prvi put je objavljena od strane teoretskog fizičara [[Paul Dirac|Paula Diraca]]. U kontekstu [[signalno procesiranje|signalnog procesiranja]] često se označava kao '''jedinični impulsni simbol''' (ili funkcija).<ref name="Bracewell 1986 loc=Chapter 5">{{harvnb|Bracewell|1986|loc=Chapter 5}}</ref> Njen diskretni analog je [[Kronecker delta]] funkcija koja se često definiše na ograničenoj domeni i uzima vrijednosti 0 i 1.
[[Kategorija:Geometrija]]
 
== Također pogledajte ==
*[[Granična tačka]]
*[[kritična tačka (matematika)|Kritična tačka]]
*[[Temelji geometrije]]
*[[Pozicija (geometrija)]]
*[[Singularna tačka krivulje]]
 
== Reference ==
{{reflist}}
 
== Literatura ==
* Clarke, Bowman, 1985, "[http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.ndjfl/1093870761 Individuals and Points,]" ''Notre Dame Journal of Formal Logic 26'': 61–75.
*De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," ''The Journal of Philosophy 19'': 449–61.
* Gerla, G., 1995, "[http://www.dmi.unisa.it/people/gerla/www/Down/point-free.pdf Pointless Geometries]" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., ''Handbook of incidence geometry: buildings and foundations''. North-Holland: 1015–31.
* Whitehead A. N., 1919. ''An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge''. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
*--------, 1920. ''[http://www.gutenberg.org/files/18835/18835-h/18835-h.htm The Concept of Nature]''. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at [[Trinity College, Cambridge|Trinity College]].
*--------, 1979 (1929). ''[[Process and Reality]]''. Free Press.
 
== Vanjski linkovi ==
{{Commonscatcommons category|Points (mathematics)}}
*[http://www.mathopenref.com/point.html Definition of Point] with interactive applet
*[http://www.mathopenref.com/tocs/pointstoc.html Points definition pages], with interactive animations that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference
*{{PlanetMath reference|id=8173|title=Point}}
*{{MathWorld |title=Point |id=Point}}
 
[[Kategorija:GeometrijaElementarna geometrija]]
[[Kategorija:Matematički koncepti]]