Laplaceova jednačina

(Preusmjereno sa Laplasova jednačina)

Laplasova jednačina' je eliptička parcijalna diferencijalna jednačina drugoga reda oblika:

Rešenja Laplasove jednačine su harmoničke funkcije. Laplasova jednačina je značajna u matematici, elektromagnetizmu, astronomiji i dinamici fluida.

DefinicijaUredi

U tri demenzije Laplasiva jednačina može da se prikaže u različitim koordinatnim sistemima. U kartezijevom koordinatnom sistemu je oblika:

 

U cilindričnom koordinatnom sistemu je:

 

U sfernom koordinatnom sistemu je:

 

U zakrivljenom koordinatnom sistemu je:

 

ilir

 

Dvodimenzionalni sistemUredi

U polarnom koordinatnom dvodimenzionalnom sistemu je oblika:

 

U dvodimenzionalnom kartezijevom sistemu je:

 

Grinova funkcijaUredi

Laplasova jednačina se često rešava uz pomoć Grinove funkcije i Grinova teorema:

 

Definicija Grinove funkcije je:

 

Uvrstimo u Grinov teorem   pa dobijamo:

 

Sada možemo da rešimo Laplasovu jednačinu   u slučaju Nojmanovih ili Dirihleovih rubnih uslova. Uzimajući u obzir:

 

pa se jednačina svodi na:

 

Kada nema rubnih uslova Grinova funkcija je:

 

LiteraturaUredi

  • Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. New York:. Šablon:Page1
  • Laplasova jednačina