Kombinacija

U matematici, kombinacije je način izbora elemenata iz kolekcije, tako da (za razliku od varijacija) redosled izbora nije važan.

Kombinacije bez ponavljanja

U kombinatorici, svaki podskup od k (k ≤ n) različitih elemenata skupa S od n elemenata zove se kombinacija bez ponavljanja k-te klase od n elemenata. Poredak elemenata nije važan u kombinacijama: dva podskupa koja imaju iste elemente u drugačijem poretku čine istu kombinaciju. Broj od k kombinacija C(n, k) skupa koji ima n elemenata je:

$C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}},\quad n\geq k\geq 0,\quad (n,k)\in N$,

${n \choose k}={\frac {P(n,k)}{P(k,k)}},$

$P(n,k)={\frac {n!}{(n-k)!}}$,

(vidi faktorijel)

sledi:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}.$

Takođe, broj $\quad {n \choose k}\quad$ naziva se binomni koeficijent. Treba uočiti da se $C_{k}^{n}$ može rešiti korišćenjem Paskalovog trougla.

Primer

Jedan dobar primer za razumevanje izračunavanja broja kombinacija bez ponavljanja je igra na sreću loto. Na primer, da bismo izračunali ukupan broj kombinacija lotoa u kom se od 39 mogućih brojeva izvlači 7 brojeva, primenjujemo formulu:

$C_{7}^{39}={39 \choose 7}={\frac {39\cdot (39-1)\cdots (39-7+1)}{7\cdot (7-1)\cdots 1}}=$

$={\frac {39\cdot 38\cdot 37\cdot 36\cdot 35\cdot 34\cdot 33}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {77.519.922.480}{5.040}}=15.380.937$

Dakle, verovatnoća dobitka na lotou na kom se pogađa 7 od 39 brojeva je nešto manja od 1 prema 15 miliona.

Kombinacije sa ponavljanjem

Kombinacije k-te klase od n elemenata kod kojih se jedan element može do k puta ponavljati zovu se kombinacije s ponavljanjem k-te klase od n elemenata. Broj kombinacija s ponavljanjem je:

${\bar {C}}_{k}^{n}={\bar {C}}_{k}^{n+k-1}={n+k-1 \choose k}\quad$,

uz uslov: $n\geq k\geq 0,\ (n,k)\in N$.

Povezano

• Kombinatorika
• Faktorijel

Reference

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003), Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof, The Dolciani Mathematical Expositions 27, The Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-333-7 
• Brualdi, Richard A. (2010), Introductory Combinatorics (5th izd.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-602040-0 
• Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, INC, 1999.
• Mazur, David R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-762-5 
• Ryser, Herbert John (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America 

Vanjske veze

• Topcoder tutorial on combinatorics
• C code to generate all combinations of n elements chosen as k
• Many Common types of permutation and combination math problems, with detailed solutions
• The Unknown Formula For combinations when choices can be repeated and order does NOT matter
• Combinations with repetitions (by: Akshatha AG and Smitha B)
• The dice roll with a given sum problem An application of the combinations with repetition to rolling multiple dice