Invertibilna matrica

U linearnoj algebri, n-sa-n (kvadratna) matrica je invertibilna ili nesingularna ili regularna ako postoji n-sa-n matrica , takva da

gde označava n-sa-n jediničnu matricu a množenje je uobičajeno množenje matrica. Ako je ovo slučaj, onda je matrica jedinstveno definisana matricom i naziva se inverzom matrice , što se označava sa . Sledi iz teorije matrica da ako je

za kvadratne matrice i , onda je takođe

Kvadratna matrica koja nije invertibilna se naziva singularnom. Uobičajeno je da su elementi matrica realni ili kompleksni brojevi, ali ove definicije mogu biti date za matrice nad bilo kojim prstenom.

Invertovanje matrice je postupak pronalaženja matrice takve da zadovoljava uslove za invertibilnu matricu matrice .

Svojstva invertibilnih matricaUredi

Neka je   kvadratna matrica dimenzije n-sa-n nad poljem   (na primer poljem   realnih brojeva). U tom slučaju su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

  •   je invertibilna.
  •   se može Gaus-Žordanovom eliminacijom svesti na n-sa-n jediničnu matricu  .
  •   ima n pivot pozicija.
  • det   ≠ 0.
  • Rang   = n.
  • Jednačina   ima samo trivijalno rešenje  
  • Jednačina   ima tačno jedno rešenje za svako   u  .
  • Kolone   su linearno nezavisne.
  • Kolone   grade bazu  .
  • Linearno preslikavanje iz   u   je bijekcija iz   u  .
  • Postoji n-sa-n matrica   takva da je  .
  • Transponovana matrica   je invertibilna matrica.
  • Matrica puta njoj transponovana matrica,   je invertibilna matrica.
  • Broj 0 nije sopstvena vrednost  .

Uopšteno, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica u tom prstenu.

Inverz invertibilne matrice   je i sam invertibilan, i

 .

Inverz invertibilne matrice   pomnožen skalarom  , različitim od nule daje proizvod inverza skalara i matrice

 .

Za invertibilnu matricu A, transponat inverza je inverz transponata:

 

Proizvod dve invertibilne matrice   i   iste veličine je i sam invertibilan, i jednak

 

(Obratiti pažnju da je redosled činilaca obrnut.) Zbog toga, skup invertibilnih n-sa-n matrica gradi grupu, poznatu pod imenom opšta linearna grupa Gl(n).

Izračunavanje inverzne matriceUredi

 

LiteraturaUredi

  • Cormen, Thomas H.; Charles E. Leiserson, Ron L. Rivest, Clifford Stein (2001) [1990]. "28.4: Inverting matrices". Introduction to Algorithms (2nd izd.). MIT Press and McGraw-Hill. str. pp. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.