Binomna teorema

Binomna teorema je teorema elementarne algebre i opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti izraz (x + y)n sumom sabiraka oblika axbyc, gde su koeficijenti a pozitivni celi brojevi, pri čemu je zbir eksponenata x i yjednak n za svaki sabirak. Na primer:

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti. Oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Ovi brojevi se mogu izračunati jednostavnom formulom koja koristi faktorijel.

Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici, gde je izraz xnkyk jednak broju različitih kombinacija kelemenata koji se biraju iz skupa od n članova.

Formule

uredi

Koeficijent koji stoji uz xnkyk dat je formulom:

koja je definisana uz pomoć funkcije faktorijela n!. Ova formula se može napisati i na sledeći način:

gde su k faktori i u imeniocu i u brojiocu razlomka. Iako se u ovoj formuli koristi razlomak, binomni koeficijenti su celi brojevi.

Iskaz teoreme

uredi

Svaki stepen izraza x + y moguće je predstaviti u formi:

 

gde   označava odgovarajući binomni koeficijent. Drugi način zapisivanja ove formule je:

 

Literatura

uredi
  • Bag, Amulya Kumar (1966). „Binomial theorem in ancient India”. Indian J. History Sci 1 (1): 68–74. 
  • DOI:10.2307/4145193
    This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand
  • Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). „(5) Binomial Coefficients”. Concrete Mathematics (2nd izd.). Addison Wesley. str. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857. 

Vanjske veze

uredi