Parcijalna integracija
U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.
Pravilo uredi
Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo gdje koristimo standardne oznake
Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je
U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi
ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:
Primjeri uredi
Kako bi izračunali
napišemo:
- u = x, tako da je du = dx,
- dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).
Zatim:
gdje je C arbitražna konstanta integracije.
Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su
mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.
Interesantan primjer je sljedeći:
gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.
Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:
- u = cos(x); thus du = -sin(x)dx
- dv = exdx; thus v = ex
Zatim:
Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:
- u = sin(x); du = cos(x)dx
- v = ex; dv = exdx
Zatim:
Sklopivši sve to zajedno, dobijamo
Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:
Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.
Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:
Napišimo:
- u = ln(x); du = 1/x dx
- v = x; dv = 1·dx
Zatim:
gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije
Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponov napišemo kao:
Napišimo:
- u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
- v = x; dv = 1·dx
Zatim:
koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.
Više dimenzije uredi
Kulturološke reference uredi
- Metoda tabularne parcijalne integracije pojavila se u filmu Stand and Deliver iz 1988. godine.