U matematici , pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (takođe se naziva i Leibnizov zakon ; pogledajte članak derivacija ), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija .
Zakon glasi:
(
f
g
)
′
=
g
f
′
+
f
g
′
{\displaystyle (fg)'=gf'+fg'\,}
ili direktno po Leibnizu:
d
d
x
(
u
v
)
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
.
{\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}.}
Otkriće od strane Leibniza
uredi
Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu , koji ga je dokazao koristeći [diferencijal (matematička analiza)|diferencijale]]. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći: Neka su u (x ) i v (x ) dvije diferencijabilne funkcije od x . Tada je diferencijal od uv
d
(
u
v
)
{\displaystyle d(uv)\,}
=
(
u
+
d
u
)
(
v
+
d
v
)
−
u
v
{\displaystyle =(u+du)(v+dv)-uv\,}
=
u
(
d
v
)
+
v
(
d
u
)
+
(
d
u
)
(
d
v
)
{\displaystyle =u(dv)+v(du)+(du)(dv)\,}
Pošto je (du )(dv ) izanemarivo, Leibniz je zaključio da je
d
(
u
v
)
=
v
(
d
u
)
+
u
(
d
v
)
{\displaystyle d(uv)=v(du)+u(dv)\,}
što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx , dobit ćemo
d
d
x
(
u
v
)
=
v
(
d
u
d
x
)
+
u
(
d
v
d
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=v\left({\frac {du}{dx}}\right)+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)}
koje se može napisati i kao
(
u
v
)
′
=
v
u
′
+
u
v
′
.
{\displaystyle (uv)'=vu'+uv'.\,}
Dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja .
Pretpostavimo
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
,
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}
i da su i f ig diferencijabilne u fiksnom broju x . Tada je
h
′
(
x
)
=
lim
w
→
x
h
(
w
)
−
h
(
x
)
w
−
x
=
lim
w
→
x
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
w
−
x
.
(
1
)
{\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}
Sada razlika
f
(
w
)
g
(
w
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
(
2
)
{\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}
predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.
Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika
f
(
x
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
)
+
g
(
w
)
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
)
.
(
3
)
{\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}
Zbog toga, izraz (1) jednak je
lim
w
→
x
(
f
(
x
)
(
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
)
+
g
(
w
)
(
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
)
)
.
(
4
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}
Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak
(
lim
w
→
x
f
(
x
)
)
(
lim
w
→
x
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
)
+
(
lim
w
→
x
g
(
w
)
)
(
lim
w
→
x
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
)
.
(
5
)
{\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}
Sada
lim
w
→
x
f
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,}
jer f (x ) ostaje konstanta kao w → x ;
lim
w
→
x
g
(
w
)
−
g
(
x
)
w
−
x
=
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}
jer je g diferencijabilna u x ;
lim
w
→
x
f
(
w
)
−
f
(
x
)
w
−
x
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}
jer je f diferencijabilna u x ;
Na kraju je
lim
w
→
x
g
(
w
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}
jer je g neprekidna u x . Kako znamo da je g neprekidna u x ? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.
Zaključujemo da je izraz (5) jednak
f
(
x
)
g
′
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}
Takođe pogledati
uredi
