Nepravi integral

U kalkulusu, nepravi integral je granična vrijednost određenog integrala, kao se posjednja tačka intervala integracije približava bilo određenom realnom broju ili ∞ ili −∞, ili, u nekim slučajevima, kada sa dvije strane teži ka graničnoj vrijednosti.

Oblasti u matematičkoj analizi

Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala Neodređeni integral Određeni integral Višestruki integral Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija

Preporučuje se čitaocu da, prije čitanja članaka, bude upoznat sa antiderivacijama, integralima i graničnim vriejdnostima.

U nekim slučajevima, integral

$\int _{a}^{c}f(x)\,dx\,$

se definiše bez obzira na granicu

$\lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,$

ali se drugačije ne može izračunati. Ovo se najčešće dešava kada se funkcija f, koja se integriše od a do c, ima vertikalnu asimptotu u c, ili ako c = ∞ (pogledajte: Slika 1 i Slika 2).

U nekim slučajvima, integral od a do c nije ni definisan, jer su integrali i pozitivnih i negativnih dijelova f(x) dx od a do c beskonačni, ali granična vrijednost, ipak, može postojati. Takvi slučajevi su "pravi nepravi" integrali, npr. njihove vrijednosti se ne mogu definisati, osim kao te granične vrijednosti.

Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}$

može se interpretirati kao

$\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},$

ali, prema matematičkoj analizi, nije neophodno interpretirati ga na taj način, jer se može interpretirati kao Lebesgueov integral u intervalu (0, ∞). Na drugu stranu, korištenje granične vrijednosti određenih integrala u zatvorenom intervalu, je jako korisno samo ako se računaju tačne vrijednosti.

U suprotnosti,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx$

ne može biti interpretiran kao Lebesgueov integral, pošto je

$\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .$

Zbog toga je to "pravi" nepravi integral, čije vrijednosti su date preko

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

Možemo govoriti o singularitetima nepravog integrala, misleći na one tačke produžene brojne linije realnih brojeva u kojim je korištena granična vrijednost.

Takvi integrali se često zapisuju simbolično kao i standardni pravi integrali, možda sa beskonačnosti kao granicom integracije. Ali to prikriva proces traženja granične vrijednosti. Korištenjem "naprednije" Lebesgueovog integrala, umjesto Riemannovog integrala, može se, u nekim slučajevima, zaobići ovaj problem, ali ako se jednostavno želi dobiti određeni rezultat, ta metoda nam možda neće pomoći.

Beskonačne granice integracije

Najosnovniji od nepravih integrala su integrali tipa:

$\int \limits _{0}^{\infty }{dx \over x^{2}+1}.$

Kako je gore rečeno, ovo ne mora biti definisano kao nepravi integral, jer se, umjesto toga, može računati kao Lebesgueov integral. Međutima, u svrhu tačnog izračunavanja ovog integrala, bolje ga je tretirati kao nepravog integrala, npr. izračunati ga kada je gornja granica integracije konačna, a zatim računati graničnu vrijednost, ako ta granica teži ka ∞. Antiderivacija funkcije koja se integriše je arctan x. Integral je

$\lim _{b\rightarrow \infty }\int \limits _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\rightarrow \infty }\arctan b-\arctan 0=\pi /2-0=\pi /2.$

Nepravi integral konvergira samo ako i granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala, koji ne oknvergira:

$\int \limits _{1}^{\infty }{dx \over x}=\lim _{b\rightarrow \infty }\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\lim _{b\rightarrow \infty }\ln b=\infty$

Nekada će obje granice biti beskonačne. U tom slučaju, integral se može razbiti na sumu dva neprava integrala:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{-\infty }^{a}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)\,dx$

gdje je a arbitražni konačni broje.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

Vertikalne asimptote u granicama integracije

Razmotrimo

$\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x^{2/3}}}.$

Ova je integral funkcije sa vertikalnom asimptotom u x = 0.

Ovaj integral se može izračunati ako računamo u granicama od b (broj veći od nule) do 1, a zatim izračunati graničnu vrijednosti kada b teži 0 sa desne strane (pošto je interval naše integracije sa desne strane od 0). Treba primijetiti da je antiderivacija funkcije iznad upravo $3x^{1/3},$, tako da se integral može računati kao

$\lim _{b\rightarrow 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {dx}{x^{2/3}}}=3\cdot 1^{1/3}-\lim _{b\rightarrow 0^{+}}3b^{1/3}=3-0=3.$

Nepravi integral konvergira samo ako granična vrijednost konvergira. Ovo je primjer integrala koji ne konvergira:

$\int _{0}^{1}{dx \over x}=\lim _{b\rightarrow 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {dx}{x}}=\lim _{b\rightarrow 0^{+}}-\ln b=\infty$

Ponekad se vrši integracija iznad intevala koji siječe vertikalna asimptota. U tom slučaju, može se integral rastaviti na sumu dva neprava integala sa obe strane:

$\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx$

gdje je b lokacija vertikalne asimptote.

U ovom slučaju, nepravi integral konvergira samo ako oba integrala konvergiraju. Ako jedan integral divergira u pozitivnu beskonačnost, a drugi divergira u negativnu beskonačnost, tada je integral nedefinisan, te se mogu dobiti različiti razultati, u zavisnosti od toga u kakvom su odnosu granične vrijednosti ta dva integrala. Pogledajte Cauchyjevu principijalnu vrijednost.

Cauchyjeva principijalna vrijednost

Razmotrimo razliku u vrijednostima ova dva limesa:

$\lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,$

$\lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.$

Prethodni je Cauchyjeva principijalna vrijednost predhodno nedefinisanog izraza

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).$

Slično tome, imamo

$\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,$

ali

$\lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.$

Prethodni je principijalna vrijednost prethodno nedefinisanog izraza

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).$

Sve prethodne granične vrijednosti su u nedefinisanoj formi ∞ − ∞.