Tejlorova formula

(Preusmjereno sa Tejlorov red)

Tejlorova formula, koja je dobila ime po matematičaru Bruku Tejloru, koristi se za približno izračunavanje funkcija u okolini neke određene tačke uz pomoć Tejlorovih polinoma.

Aproksimacija funkcije f(x) = 1/(1 + x2) njenim Tejlorovim polinomom Pk reda k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (crvena boja) i x = 1 (zelena boja). Aproksimacije nisu zadovoljavajuće van intervala (-1,1) i (1-√2,1+√2), respektivno.

Tejlorov polinomUredi

Glavni članak: Tejlorov polinom

Tejlorov polinom za neku funkciju   i datu tačku   je definisan na sledeći način:

 

Pošto se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi nekakva greška, deo za koji se razlikuje funkcija i polinom nazivamo ostatkom   polinoma i on iznosi:

 

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku   koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

 

DokazUredi

Dokaz da se svaka funkcija može predstaviti kao zbir Tejlorovog polinoma i njegovog ostatka možemo sprovesti indukcijom.

Baza indukcije:

 
 

Da Tejlorova formula važi za   možemo dokazati putem parcijalne integracije:

 

Korak indukcije: Uzmimo onda da za neko   važi:

 

Dokaz:

 
 

Koristimo  :

 
 

Parcijalnom integracijom:

 
 
 
 ,

što smo i hteli da dokažemo.

Tejlorova formula u Lagranžovom oblikuUredi

Tejlorova formula u Lagranžovom obliku se dobija kada se na izraz Tejlorove formule

 

primeni Lagranžova teorema za srednju vrednost:

 , gde je  

PrimerUredi

Izračunavanje nijedne trigonometrijske funkcije u opštem slučaju nije trivijalno. Međutim, za rezultate sa određenom tačnošću, Tejlorova formula daje veoma dobre rezultate koji se mogu i jako brzo izračunati.

Tako, na primer, možemo izračunati približnu vrednost sinusa u opsegu -0.5 do 0.5. Jedna od najefikasnijih mogućnosti za izračunavanje je primena Tejlorovog polinoma na tačku 0.

Za sinus znamo da važi:

 

Tejlorov polinom prvog stepena stoga glasi:

 
 

U posmatranom intervalu, rezultati aproksimacije su prilično dobri, jer je greška:

  najveća kod tačaka -0.5 i 0.5 i ona iznosi:
 , što je sa praktične tačke gledišta sasvim prihvatljivo.

Tako možemo i praktično da opazimo da je naša približna vrednost sve gora aproksimacija što se dalje udaljavamo od tačke  .

Za bolje aproksimacije i manje greške, potrebno je samo funkciju razviti do viših stepena i tako se sve više i više približavati traženoj funkciji.

Prikazane su aproksimacije funkcije   za razvijanje do sve viših i viših redova (do prvog reda - crvenom bojom, do trećeg reda - zelenom bojom, ...):

 

Vidi jošUredi

LiteraturaUredi

  • Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.