Valna jednačina

Talasna jednačina je važna parcijalna diferencijalna jednačina kojom se opisuje prostiranje talasa. Talasi mogu biti zvučni, eletromagnetni, vodeni itd., ali se svi prostiru na istom principu sažetom u talasnu jednačinu. Talasna jednačina se javlja i koristi u akustici, elektromagnetizmu, optici, dinamici fluida. Najznačajniji doprinos rešenju problema opisivanja oscilacija i prostiranja talasa dali su Žan dAlamber, Leonard Ojler, Danijel Bernuli i Žoze-Luj Lagranž.

Implus koji se prostire kroz žicu sa fiksiranim krajevima modelovan preko talasne jednačine

Uvod

Talasna jednačina je tipični primer hiperbolične parcijalne diferencijalne jednačine. U najjednostavnijem obliku, talasna jednačina se odnosi na skalarnu veličinu u koja zadovoljava:

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\Delta u,$

gde je c (konstantna) brzina talasa a $\Delta =\nabla ^{2}$ je Laplasijan. Za zvučne talase u vazduhu na 20 °C iznosi oko 343 m/s (videti brzina zvuka). Za oscilujuću žicu brzina može da se menja u velikom opsegu jer zavisi od linearne gustine žice i njene zategnutosti. Mnogo realističniji model jednačine talasa uzima u obzir disperziju, tj, zavisnost brzine talasa od njegove frekvencije. Tada se c zamenjuje faznom brzinom:

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.$

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\Delta u$

$\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )$

Skalarna talasna jednačina u jednoj prostornoj dimenziji

Izvođenje talasne jednačine

Talasna jednačina u jednodimenzionalnom slučaju možemo da izvedemo na sledeći način: Zamislimo niz malih tegova, svaki mase m, povezanih oprugama od kojih svaka ima dužinu h i koeficijent elastičnosti k:

Ovde u(x) predstavlja otklon od ravnotežnog položaja male mase na koordinati x. Sile koje deluju na masu $m$ na položaju $x+h$ su:

$F_{Newton}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}$

$F_{Hooke}=F_{x+2h}+F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]$

Jednačina kretanja materijalne tačke na lokaciji x+h je:

$m{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$

gde je vremenska zavisnost u(x) data eksplicitno.

Ako se niz tegova sastoji od N tegova ravnomerno raspoređenih na dužini L = N h tada je ukupna masa M = N m, i ukupni koeficijent elastičnosti niza K = k/N pa gornju jednačinu možemo da napišemo kao:

${\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}$

Izračunavanjem limesa $N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0$ (podrazumevanjem uniformnosti) nalazimo:

${\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}$

gde je (KL²)/M kvadrat brzine kojom se deformacija prostire duž niza.

Rešenje problema početnih vrednosti

Opšte rešenje jednodimenzionalne skalarne talasne jednačine je

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}$

izveo je Dalamber. U faktorskom obliku talasna jednačin amože da se napiše kao

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.\,$

Ako su F i G proizvoljne funkcije sledi da svaki zbir oblika

$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)\,$

zadovoljava talasnu jednačinu. Dva člana predstavljaju dva talasa u pokretu: deformacija data argumentom F ili G kreće se brzinom c u smeru napred (za F) i nazad (za G). Ove funkcije mogu bliže da se odrede na osnovu proizvoljnih početnih uslova:

$u(x,0)=f(x)\,$

$u_{t}(x,0)=g(x)\,$

Rezultat je Dalamberova formula:

$u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$

Skalarna talasna jednačina u tri prostorne dimenzije

Rešenje trodimenzionalnog problema početnih vrednosti može da se dobije iz rešenja jednačine za sferne talase. Taj rezultat onda može da se svede na dvodimenzionalni slučaj.

Sferni talasi

Skalarna talasna jednačina ostaje neizmenjena pri rotaciji prostornih koordinata i stoga može da se očekuje da postoji rešenje koje zavisi samo od radijalnog rastojanja od odabrane tačke. Takvo rešenje mora da zadovolji

$u_{tt}-c^{2}\left(u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right)=0.\,$

Ova jednačina može da se napiše i kao

$(ru)_{tt}-c^{2}(ru)_{rr}=0;\,$

veličina ru zadovoljava jednodimenzionalnu talasnu jednačinu Stoga, postoje rešenja u obliku

$u(t,r)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),\,$

gde su F i G proizvoljne funkcije. Svaki član može da se tumači kao sferni talas koji se širi ili skuplja (kontrahuje) brzinom c. Takve talase stvara tačkasti izvor.

Rešenje opšteg problema početnih vrednosti

Talasna jednačina je linearna po u i ostaje neizmenjena pri translaciji u prostoru i vremenu. Stoga, možemo da generišemo veliki broj rešenja tranlacijom i sumiranjem sferičnih talasa. Neka je φ(ξ,η,ζ) proizvoljna funkcija tri nezavisne promenljive, i neka je sferični talas F delta funkcija: tojest, neka je F slaba granica kontinualne funkcije čiji je integral jednak jedinici, a čiji opseg gde je funkcija veća od nule skupljen u koordinatni početak. Neka familija sfernih talasa sgernih talasa ima centar u tački (ξ,η,ζ) i neka je r radijalno rastojanje od te tačke. Tada je

$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.\,$

Ako je u superpozicija takvih talasa sa težinskom funkcijom φ, dobijamo

$u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \,d\eta \,d\zeta ;\,$

gde je imenilac 4πc uveden zbog pogodnosti.

Koristeći definiciju delta funkcije, u može isto da se predstavi kao

$u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )d\omega ,\,$

gde su α, β, i γ koordinate na jediničnoj sferi S, a ω element površine na sferi S. Ovaj rezultat može da se tumači kao da je u(t,x) srednja vrednost funkcije φ pomožena sa t na sferi radijusa ct centriranoj na x:

$u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].\,$

Sledi da je

$u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).\,$

Srednja vrednost je parna funkcija od t, i stoga ako je

$v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right),\,$

tada je

$v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.\,$

Ove formule daju rešenje za problem početnih vrednosti talasne jednačine. One pokazuju da rešenje u datoj tački R, za dato (t,x,y,z) zavisi samo od podataka na sferi radijusa ct presečenoj svetlosnim konusom nacrtanim unazad iz tačke R. Rešenje ne zavisi od podataka unutar te sfere.

Skalarna talasna jednačina u dve prostorne dimenzije

U dve prostorne dimenzije, talasna jednačina je oblika

$u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).\,$

Ovaj problem možemo da rešimo na osnovu trodimenzionalnog rešenja ako smatramo da je u rešenje u tri dimenzije koje je nezavisno od treće dimenzije. Ako je

$u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),\,$

tada formula za trodimenzionalno rešenje postaje

$u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )d\omega ,\,$

gde su α i β prve dve koordinate jedinične sfere, a dω element površine sfere. Ovaj integral može da se napiše kao integral po disku D sa centrom u (x,y) i radijusom ct:

$u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .\,$

Očigledno je da rešenje na (t,x,y) zavisi ne samo od podataka na svetlosnom konusu gde je

$(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},\,$

nego isto i od podataka unutar tog konusa.

Problem s granicama

Jedna prostorna dimenzija

$-u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,\,$

$u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,\,$

$u(t,x)=T(t)v(x).\,$

${\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .\,$

$v''+\lambda v=0,\,$

$-v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.\,$

Nekoliko prostornih dimenzija

${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,$

$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}=g(x),\,$

$\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,$

u D, i

${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,$

na B.

Nehomogena talasna jednačina u jednoj dimenziji

$u(x,0)=f(x)\,$

$u_{t}(x,0)=g(x).\,$

$\int \int _{R_{C}}\left(c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)\right)dxdt=\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt.$

$\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt.$

$\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx.$

$\int _{L_{1}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)\,$

$=\int _{L_{1}}\left(cu_{x}(x,t)dx+cu_{t}(x,t)dt\right)\,$

$=c\int _{L_{1}}du(x,t)=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\,$

$\int _{L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)$

$=-\int _{L_{2}}\left(cu_{x}(x,t)dx+cu_{t}(x,t)dt\right)$

$=-c\int _{L_{2}}du(x,t)=-\left(cf(x_{i}-ct_{i})-cu(x_{i},t_{i})\right)$

$=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\,$

$-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})=\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt$

$2cu(x_{i},t_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})=\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt$

$2cu(x_{i},t_{i})=\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+cf(x_{i}+ct_{i})+cf(x_{i}-ct_{i})+\int \int _{R_{C}}s(x,t)dxdt$

$u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+c\left(t_{i}-t\right)}s(x,t)dxdt.\,$

Vidi još

• Helmholcova jednačina
• Jednačina zvučnih talasa
• Jednačina elektromagnetnih talasa
• Nehomogena jednačina elektromagnetnih talasa
• Doplerov efekat
• Šredingerova jednačina
• Matematički aspekt talasne jednačine je diskutovan na Disperzivne parcijalne diferencijalne jednačine Wiki Arhivirano 2007-04-25 na Wayback Machine-u.

Literatura

• M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
• M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
• "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.