Otvori glavni meni

DefinicijaUredi

 
Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja

Pogledajmo linijski integral vektorskog polja   duž zatvorne krivulje   koja ograničava površinu  . Premostimo krivulju nekim lukom, tako da je vanjska krivulja razdvojena na dvije ( ). Pri integriranju sada udio imaju samo vanjski dijelovi početne linije, jer se po luku integrira jednom u jedom, a drugi put u suprotom smijeru pa se taj integral poništava (v. sl.). Naravno, isto se događa i za velik broj razdioba početne površine  :

 

Uzmimo sada omjer te vrijednosti i infinitezimalno malog dijela površine   koji okružuje krivulja  . Pustimo li da  , odnosno  , dobivamo graničnu vrijednost koja predstavlja skalarnu veličinu pridruženu određenoj točki prostora, pa je stoga možemo smatrati komponentom vektora. Pomnožimo li dati izraz s vektorom normale  , dolazimo upravo do definicije rotacje ili rotora vektorskog polja:

 

Svojstva i pretpostavkeUredi

Nije nužno da ploha omeđena krvuljom koju promatramo leži u ravnini, traži se jedino da ta ploha nema singularnosti.

Nadalje, pretpostavlja se da se vektor normale   ne mijenja dok se element plohe smanjuje k nuli. Rotor je, kao i Divergencija, također invarijanta vektorskog polja.

Rotor u kartezijevu sustavuUredi

 
Shematski prikaz uz definiciju rotacije vektorskoga polja

Kako bismo izveli izraz za rotor u kartezijevu sustavu, napravimo integraciju po rubu pravokutnika paralelnog s   - ravinom ( ), kao na sl.

 
 
 
 
 
 
 

Uvršatavanjem u definiciju rotacije, te potpunom analogijom, imamo:

 
 
 
 
 

Očito u danoj fomuli možemo prepoznati simbolički zapisanu determinantu:

 

Nadalje, očito je

 

pa   često označavamo s  , gdje je   Hamiltonov operator.

Rotacija i Stokesov teoremUredi

Za rotaciju vrijedi Stokesov teorem

 

Izrazi za rotaciju u drugim koordinatnim sustavimaUredi

 
 
 
 
 
 
 
 

Rotacija i algebarske operacijeUredi

Neka su dana vektorska polja   i  , skalar  , skalarna funkcija   i radij-vektor  . Tada vrijedi:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


PrimjeriUredi

  • Rotor elektrostaskog polja točkastog naboja,  :
 
  • Rotor vektorskog polja obodne kružne brzine,   (v. sl.).
 
Shematski prikaz uz rotaciju polja obodne brzine
 
 

Odatle se lako mogu iščitati komponente kutne brzine:

 
 
 

Na ovom primjeru primijetimo: vektor brzine   je polarni vektor, a vektor   je aksijalni vektor. Međutim, to vrijedi i općenito: rotor polarnog vektora je aksijalni vektor, a rotor aksijalnog vektora je polarni vektor.

Vezani pojmoviUredi

Vanjske povezniceUredi