Rješavanje trougla

(Preusmjereno sa Rešavanje trougla)

Rješavanje trougla znači nalaženje preostalih uglova i stranica kada je dat minimum podataka. Osnovni elementi trougla su tri ugla i tri stranice, a minimum podataka, čine tri od tih osnovnih elementa, od kojih je najmanje jedan stranica. Naime, kada znamo dva ugla trougla tada možemo smatrati da znamo i treći, jer je zbir uglova u trouglu uvijek isti, 180o. Međutim, trougao nije određen samo svojim osnovnim elementima. Ovo je glavni trigonometrijski problem. Moguće je konstruisati trougao ako je zadana težišnica i dvije stranice, ili stranica, visina i ugao, itd.

Glavni teoremiUredi

Kosinusna teorema

 

 

 

Sinusna teorema

 

Zbir uglova trougla

 

Tangensni teorem

 

Oštrougli trougaoUredi

Oštrougli trougao ima sva tri ugla manja od pravog ugla (90o ). Pri rješavanju oštrouglog trougla moguća su sljedeća četiri slučaja:[1][2]

  1. date su tri strane (SSS);
  2. date su dve stranice i ugao između njih (SUS);
  3. data je stranica i dva nalegla ugla (USU);
  4. date su dvije stranice i ugao naspram veće od njih (SSU).

To su isti uslovi koji definišu podudarnost trouglova. Razmotrićemo svaki od ovih primjera.

Date su 3 stranice trouglaUredi

Date su tri stranice a , b , c trougla. Naći njegove uglove.[3]

I način

Kosinusna teorema   daje ugao A, jer je  

Sinusna teorema   daje ugao   , jer je  

Treći ugao C možemo naći kao suplementni ugao prethodna dva   .

II način

Iz poluobima   i tangensne teoreme imaćemo

 

Ovaj zadatak ima jedinstveno rješenje jedino ako su zbirovi po dvije od datih stranica trougla veći od treće stranice, tj.  .

Date su 2 stranice i ugao između njihUredi

Date su 2 stranice trougla   i ugao  . Naći stranicu с i uglove  ,  .[4]

Kosinusna teorema daje stranicu  

Sinusna teorema daće uglove. Iz uslova   slijedi da je ugao   oštar, pa prema tome prvo tražimo

  tj ugao   pa ugao   koji je suplementan uglovima  ,  , tj.  .

Jednistveno rješenje je ako je  .

Data je stranica i 2 ugla koja leže na njojUredi

Data je stranica a i uglovi \beta i \gamma. Naći stranice b, c i ugao \alpha. [5]

Prvo nalazimo ugao  .

Sinusna teorema daje:  }.

Za   je   pa je  

Postojijedinstveno rješenje, jer je ugao   oštar nezavisno od toga kakav je ugao  .

Kada je   tada je  . Trougao je pravougli, ili, ako je  , postoje dva rješenja, jer se mogu dobiti dvije vrijednosti za ugao\beta, oštar i tup ugao.

  tj.   , nema rješenja.

Kada je   tada je   i  . Postoji jedinstveno rešenje.

ReferenceUredi

  1. "Solving Triangles". Maths is Fun. http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-triangles.html. Pristupljeno 4 April 2012. 
  2. "Solving Triangles". web.horacemann.org. http://web.horacemann.org/academics/math/pcbch/trig/triangle.html. Pristupljeno 4 April 2012. 
  3. Solving SSS Triangles/Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.
  4. Solving SAS Triangles / Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.
  5. Solving ASA Triangles / Maths is Fun. Retrieved 13 January 2015.