Moment inercije

Moment inercije ili moment tromosti mjera je tromosti za rotacijsko gibanje. Može se reći da je moment inercije rotacijska analogija mase. Što je moment inercije nekog tijela veći to ga je teže pokrenuti u rotaciju ili zaustaviti njegovu rotaciju.

Klasična mehanika

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m\mathbf {v} )$ drugi Newtonov zakon

povijest klasične mehanike kronologija klasične mehanike Grane statika • dinamika/kinetika • kinematika • primjenjena mehanika • nebeska mehanika • mehanika kontinuuma • statistička mehanika Formulacije Newtonova mehanika (vektorska mehanika) analitička mehanika: Lagrangeova mehanika Hamiltonova mehanika Osnovni koncepti prostor • vrijeme • brzina • masa • ubrzanje • gravitacija • sila • impuls sile • spreg sila/moment sile • količina gibanja • kutna količina gibanja • tromost • moment tromosti • referentni okvir • energija • kinetička energija • potencijalna energija • rad • virtualni rad • D'Alembertovo načelo Ključne teme kruto tijelo • dinamika krutog tijela • Eulerove jednadžbe gibanja • gibanje • Newtonovi zakoni gibanja • Newtonov zakon gravitacije • jednadžbe gibanja • inercijski referentni okvir • neinercijski referentni okvir • rotirajući referentni okvir • fiktivna sila • mehanika ravninskog gibanja krutog tijela • pomak (vektor) • relativna brzina • trenje • jednostavno harmonijsko gibanje • harmonijski oscilator • vibracije • prigušenje • koeficijent prigušenja • Rotacijsko gibanje • Kružno gibanje • jednoliko kružno gibanje • nejednoliko kružno gibanje • centripetalna sila • centrifugalna sila • centrifugalna sila (rotacijski referentni okvir) • reaktivna centrifugalna sila • Coriolisov učinak • fizičko njihalo • rotacijska brzina • kutno ubrzanje • kutna brzina • kutna frekvencija • kutni pomak Znanstvenici Isaac Newton • Jeremiah Horrocks • Leonhard Euler • Jean le Rond d'Alembert • Alexis Clairaut • Joseph Louis Lagrange • Pierre-Simon Laplace • William Rowan Hamilton • Siméon-Denis Poisson

Međutim, za razliku od mase, moment inercije nije neka nepromijenjiva veličina; on ovisi o osi oko koje se dešava rotacija tijela. Matematička definicija momenta inercije materijalne točke mase m za neku os a je:

$J_{a}=mr^{2}\,$

gdje je r udaljenost te točke od osi rotacije. Mjerna jedinica za moment inercije je kgm².

Za neko tijelo sastavljeno od N materijalnih čestica moment inercije za neku os je jednak zbroju momenata inercije svih materijalnih čestica za tu istu os:

$J_{a}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{r_{i}}^{2}$

Ovo je nepraktičan izraz za neko kontinuirano tijelo za koji bi trebalo znati točan broj i položaj svih čestica. Umjesto toga integriraju se momenati inercije svih diferencijalnih masa dm:

$J_{a}=\int r^{2}dm=\int r^{2}\rho dV$

Uz pretpostavku da je gustoća tijela ρ po cijelom volumenu jednaka, dobivamo:

$J_{a}=\rho \int r^{2}dV=\rho \iiint r^{2}dxdydz$

Momenti inercije za osi koje prolaze kroz težište tijela nazivaju se vlastitim momentima inercije. Iako gornja matematička formulacija vrijedi posve općenito, moment inercije za neku os koja prolazi izvan težišta tijela se može izračunati pomoću Steinerovog pravila koje možemo ovako sročiti:

Moment inercije tijela za neku os koja ne prolazi težištem jednak je zbroju vlastitog momenta inercije za os paralelnu s traženom osi i umnoška mase tijela s kvadratom udaljenosti težišta tijela od tražene osi .

Ovo je pravilo vrlo važno i elementarno. Umnožak mase tijela i kvadrata udaljenosti težišta tijela od tražene osi se naziva položajni moment inercije.

Matematički izričaj Steinerovog pravila možemo zapisati na sljedeći način:

$J=J_{vl}+mr^{2}=J_{vl}+J_{pol}\,$

Iz svega izloženoga treba uočiti nekoliko činjenica bitnih za razumijevanje materije:

• Što je neka masa udaljenija od osi rotacije, to je teže vršiti rotaciju.
• Inertnost mase pri rotaciji raste s kvadratom udaljenosti od osi rotacije.
• Materijalna točka nema vlastitih momenata inercije jer nema protežnost.
• Za dovoljno kompaktna tijela (npr. mala kugla) u nekim slučajevima možemo aproksimirati da nemaju vlastitih momenata inercije.
• Moment inercije nekog tijela ne ovisi samo o negovoj masi i udaljenosti njegovog težišta od osi rotacije, već i o obliku.
• Steinerovo pravilo se primjenjuje bez obzira na to da li os rotacije prolazi kroz tijelo ili se nalazi izvan njega, bitan je samo odnos osi prema težištu.

References

• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd izd.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. .
• Landau, EM; Lifshitz (1976). Mechanics (3rd izd.). Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8. 
• Marion, JB; Thornton, ST. (1995). Classical Dynamics of Systems and Particles (4th izd.). Thomson. ISBN 0-03-097302-3. .
• Sylvester, J J (1852), „A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares”, Philosophical Magazine IV: 138–142, pristupljeno Junbe 27, 2008 
• Symon, KR (1971). Mechanics (3rd izd.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7. .
• Tenenbaum, RA (2004). Fundamentals of Applied Dynamics. Springer. ISBN 0-387-00887-X. .
• Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8
• Ernst W. Otten: Repetitorium Experimentalphysik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998, ISBN 3-540-62987-4
• Torsten Fließbach: Mechanik. 3. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0546-7
• Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko: Classical mechanics. International Edition, 3. Auflage, Pearson/Addison-Wesley, Upper Saddle River, N.J., 2002, ISBN 0-321-18897-7
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. 5. neu bearbeitete und aktualisierte Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79294-9

Vanjske veze

Moment inercije na Wikimedijinoj ostavi

• Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions Arhivirano 2010-03-29 na Wayback Machine-u
• Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
• The moment of inertia tensor
• An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)
• Tutorial on finding moments of inertia, with problems and solutions on various basic shapes
• Notes on mechanics of manipulation: the angular inertia tensor
• Trägheitsmomente geometrischer Körper bei Matheplanet – Anleitungen zum Berechnen diverser Trägheitsmomente mit Beispielen.
• Interaktives Java-Applet mit 3D-Visualisierung – Näherung der Trägheitsmomente frei definierbarer Körper mit diversen Beispielen.