Kubne jednačine

Posmatrajmo polinom trečeg stepena

$y(x)=ax^{3}+bx^{2}+cxd$ za $a\neq 0$

koja siječe x-osu u taČkama koje su nule odgovarajuće jednačine trečeg stepena (kubne jednačine).

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Vieteove formule

Rješenja $x_{1},x_{2},x_{3}$ jednačine $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ zadovoljavaju sljedeće relacije koje su posebni slučaj Vieteovih formula

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}={\frac {c}{a}},\ x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

Primjer

$x^{3}-3x^{2}-x+3=0$

i ima nule, rješenja

$x=-1$

$x=1$

$x=3$

U jednačini

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $a\neq 0$

smjenom

$y=b-{\frac {b}{3a}}$

postaje

$y^{3}+py+q=0$

za

$p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}$ i $q={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {2b^{3}}{37a^{3}}}$

Diskriminanta kubne jednačine

Često se diskriminantom kubne jednačine naziva diskriminanta

$D=a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}(x_{3}-x_{1})^{2})$

pripadnog polinoma :$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ gdje su $x_{1},x_{2},x_{3}$ korijeni polinoma (rješenja date jednačine. Vrijedi

$D=-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.$

Ovo vrijedi za sve kubne jednačine, a ne samo za one s realnim koeficijentima.

I izraz

$D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$ je diskriminanta

Osobine rješenja jednačine

Za $D<0$ ima jedno realno, dva konjugovano kompleksna rješenja

Za $D=0$ ima sva tri realna, bar jedno dvostruko rješenje

Za $D>0$ ima sva tri realna i različita rješenja

Primjer

Jednačina

$y=x^{3}-3x^{2}-x+3$ smjenom

$y=x+1$

postaje

$y^{3}-4y=0$

Jednačina

$y^{3}+py+q=0$ smjenom

$y=u+v$

postaje

$u^{3}+v^{3}+\left(3uv+p\right)\left(u+v\right)+q=0$

Ovdje smo nepoznatu $y$ zamjenili sa 2 nove $u$ i $v$.

uvodimo novi uslov

$3uv=p$

pa je

$u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}$

Iz

$y^{3}-4y=0$

dobijamo

$u^{3}+v^{3}=0;uv={\frac {4}{3}}$

Sistem

$u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}$ ekvivlentan je sa

$u^{3}+v^{3}=-q;u^{3}v^{3}={\frac {-p^{3}}{27}}$

Iz kojeg dobijamo

$t^{2}+qt-{\frac {-p^{3}}{27}}$

za $t_{1}=u^{3}it_{2}=v^{3}$

Njenim rješavanjem dobijamo

$t_{1},2=-{\frac {q}{27}}\pm {\sqrt {({\frac {q^{2}}{4}})+{\frac {p^{3}}{27}}}}$

Vračanjem druge smjene dobijamo

$y={\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$

IZ

$y^{3}-4y=0$

$p=-4iq=0$

pa je $y=0$

tj. jedno rješenje jednačine je

$y=x^{3}-3x^{2}-x+3$

$x=o$

Parovi (u,v) su rješenja sistema

$u^{3}+v^{3}=-q;uv={\frac {-p}{3}}$

Iz jednačina

$u^{3}=t_{1}iv^{3}=t_{2}$

slijedi

$u_{1}={\sqrt[{3}]{t}}_{1}$,

$u_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}_{1}$,

$u_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}_{1}$

$v_{1}={\sqrt[{3}]{t}}_{2}$,

$v_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}_{2}$,

$v_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}_{2}$

gdje su treči korjeni jedinice

$a^{0}=1,a^{1}={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt[{3}]{3}}),a^{2}={\frac {1}{2}}(-1-i{\sqrt[{3}]{3}})$

Odnosno sva rješenja jednačine

$y^{3}+py+q=0$

data su formulom

$y_{1}={\sqrt[{3}]{t}}_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}_{2}$,

$y_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}_{1}+a{\sqrt[{3}]{t}}_{2}$,

$y_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}_{2}$

koje se također nazivaju Kardanove formule.

U našem slučaju (za $D<0$) rješenja jednačine su realna, ali se do njih dolazi izračunavanjem kubnih korjena imaginarnih brojeva. Zato što se tada ne možemo osloboditi imaginarnosti u Kardanovim formulama, ovaj slučaj $D<0$) nazivamo nesvodljiv slučaj.

Za $p=$i $q=0$ imamo

$D={\frac {-64}{27}}$

pa je $y=0$ i imamo 2 slučaja

$y_{2}=a{\sqrt[{3}]{t}}_{1}+a{\sqrt[{3}]{t}}_{2}$, $y_{3}=a^{2}{\sqrt[{3}]{t}}_{1}+{\sqrt[{3}]{t}}_{2}$

Iz ovoga je $t_{1}=-t_{2}$

$y_{2}=(a-a^{2}){\sqrt[{3}]{\sqrt {\frac {-64}{27}}}}$

$y_{3}=(a^{2}-a){\sqrt[{3}]{\sqrt {\frac {-64}{27}}}}$ =>

$y_{2}=(i{\sqrt[{3}]{3}}){\frac {2i}{\sqrt[{3}]{3}}}$

$y_{3}=(-i{\sqrt[{3}]{3}}){\frac {2i}{\sqrt[{3}]{3}}}$ =>

$y_{2}=2\land y_{3}=-2$

$x=y+1$ pa je rješenje polaznog primjera

$x_{1}=-1$

$x_{2}=1,$

$x_{3}=3$

Opšta rješenja

Opšte rješenje za svaku kubnu jednačinu

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\,0$

je

${\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}$

Izvor

Rešivost algebarskih jednačina Beograd 2011.