Arkus sinus
Osnovne osobine Parnost neparna Domen [-1,1] Kodomen [-π/2,π/2] Specifične vrednosti Nule 0 Specifične osobine Prevoji (0,0) Ulazak u nulu pod uglom π/4
Arkus sinus je funkcija inverzna sinusnoj funkciji na njenom ograničenom intervalu [-π/2,π/2]. Koristi se za određivanje veličine ugla u ovom opsegu, kada je poznata vrednost njegovog sinusa.
Slede neke od formula koje se vezuju za arkus sinus:
arcsin − x = π 2 − arccos x {\displaystyle \arcsin {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {x}} arcsin − x = − arcsin x {\displaystyle \arcsin {-x}=-\arcsin {x}} arcsin 1 x = a r c c o s e c x {\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=arccosec{x}} Preko formule za polovinu ugla se dobija i:
arcsin x = 2 a r c t g x 1 + 1 − x 2 {\displaystyle \arcsin x=2arctg{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}} Izvod:
d d x arcsin x = 1 1 − x 2 ; | x | < 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1} Predstavljanje u formi integrala:
arcsin x = ∫ 0 x 1 1 − z 2 d z , | x | ≤ 1 {\displaystyle \arcsin x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1} Predstavljanje u formi beskonačne sume:
arcsin z = z + ( 1 2 ) z 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ; | z | ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}} Vanjske veze
uredi
