|
УU [[теоријаteorija групаgrupa|теоријиteoriji групаgrupa]], заza датуdatu [[групаgrupa (математикаmatematika)|групуgrupu]] ''-{G}-'' уu односуodnosu наna [[бинарнаbinarna операцијаoperacija|бинарнуbinarnu операцијуoperaciju]] *, кажемоkažemo даda јеje некиneki [[подскупpodskup]] ''-{H}-'' одod ''-{G}-'' '''подгрупаpodgrupa''' одod ''-{G}-'' акоako ''-{H}-'' такођеtakođe градиgradi групуgrupu уu односуodnosu наna операцијуoperaciju *. ПрецизнијеPreciznije, ''-{H}-'' јеje подгрупаpodgrupa ''-{G}-'' акоako јеje рестрикцијаrestrikcija * наna ''-{H}-'' операцијаoperacija групеgrupe наna ''-{H}-''.
'''ПраваPrava погрупаpogrupa''' групеgrupe ''-{G}-'' јеje подгрупаpodgrupa ''-{H}-'', којаkoja јеje [[подскупpodskup|правиpravi подскупpodskup]] одod ''-{G}-'' (тt. јj. -{''H'' ≠ ''G''}-). '''ТривијалнаTrivijalna подгрупаpodgrupa''' билоbilo којеkoje групеgrupe јеje подгрупаpodgrupa {''-{e}-''} којаkoja сеse састојиsastoji самоsamo одod неутралаneutrala. АкоAko јеje ''-{H}-'' подгрупаpodgrupa одod ''-{G}-'', понекадponekad сеse кажеkaže даda јеje ''-{G}-'' ''надгрупаnadgrupa'' одod ''-{H}-''.
Iste definicije važe u opštijem obliku kada je ''G'' proizvoljna [[polugrupa]], ali ovaj članak se bavi samo podgrupama grupa. Grupa ''G'' se ponekad označava [[uređeni par|uređenim parom]] (''G'',*), obično da naglasi operaciju * kada ''G'' nosi više algebarskih ili drugih struktura.
Исте дефиниције важе у општијем облику када је ''-{G}-'' произвољна [[полугрупа]], али овај чланак се бави само подгрупама група. Група ''-{G}-'' се понекад означава [[уређени пар|уређеним паром]] (''-{G}-'',*), обично да нагласи операцију * када ''-{G}-'' носи више алгебарских или других структура.
U ostatku članka ćemo koristiti uobičajenu konvenciju izostavljanja simbola * i pisanja proizvoda ''a''*''b'' jednostavno kao ''ab''.
У остатку чланка ћемо користити уобичајену конвенцију изостављања симбола * и писања производа -{''a''*''b''}- једноставно као ''-{ab}-''.
== Osnovna svojstva podgrupa ==
== Основна својства подгрупа ==
* ''-{H}-'' јеje подгрупаpodgrupa групеgrupe ''-{G}-'' [[акоako иi самоsamo акоako]] јеje непразнаneprazna иi затворенаzatvorena заza производproizvod иi инверзеinverze. (ЗатвореностZatvorenost значиznači следећеsledeće: кадkad годgod суsu ''-{a}-'' иi ''-{b}-'' унутарunutar ''-{H}-'', тадаtada јеje иi ''-{ab}-'' иi ''-{a}-''<sup>−1</sup> суsu такођеtakođe унутарunutar ''-{H}-''. ОваOva дваdva условаuslova могуmogu даda сеse спојеspoje уu једанjedan еквивалентанekvivalentan условuslov: кадkad годgod суsu ''-{a}-'' иi ''-{b}-'' унутарunutar ''-{H}-'', тадаtada јеje иi ''-{ab}-''<sup>−1</sup> унутарunutar ''-{H}-''.) УU случајуslučaju кадаkada јеje ''-{H}-'' коначноkonačno, тадаtada јеje ''-{H}-'' подгрупаpodgrupa акоako иi самоsamo акоako јеje ''-{H}-'' затвореноzatvoreno уu односуodnosu наna производеproizvode. (УU овомovom случајуslučaju, свакиsvaki елементelement ''-{a}-'' изiz ''-{H}-'' генеришеgeneriše коначнуkonačnu [[цикличнаciklična групаgrupa|цикличнуcikličnu подгрупуpodgrupu]] одod ''-{H}-'', иi инверзinverz одod ''-{a}-'' јеje тадаtada ''-{a}-''<sup>−1</sup> = -{''a''<sup>''n'' − 1</sup>}-, гдеgde јеje ''-{n}-'' редred одod ''-{a}-''.
* ГорњиGornji условuslov сеse можеmože изрећиizreći уu терминимаterminima [[хомоморфизамhomomorfizam|хомоморфизамаhomomorfizama]]; тоto јестjest, ''-{H}-'' јеje подгрупаpodgrupa групеgrupe ''-{G}-'' акоako иi самоsamo акоako јеje ''-{H}-'' подскупpodskup одod ''-{G}-'' иi постојиpostoji инклузиониinkluzioni хомоморфизамhomomorfizam (тt. јj., -{i(''a'') = ''a''}- заza свакоsvako ''-{a}-'') изiz ''-{H}-'' уu ''-{G}-''.
* НеутралNeutral подгрупеpodgrupe јеje неутралneutral групеgrupe: акоako јеje ''-{G}-'' групаgrupa саsa неутраломneutralom -{''e''<sub>''G''</sub>}-, иi ''-{H}-'' јеje подгрупаpodgrupa одod ''-{G}-'' саsa неутраломneutralom -{''e''<sub>''H''</sub>}-, тадаtada јеje -{''e''<sub>''H''</sub> = ''e''<sub>''G''</sub>}-.
* ИнверзInverz елементаelementa подгрупеpodgrupe јеje инверзinverz елементаelementa групеgrupe: акоako јеje ''-{H}-'' подгрупаpodgrupa одod ''-{G}-'', иi ''-{a}-'' иi ''-{b}-'' суsu елементиelementi изiz ''-{H}-'', таквиtakvi даda -{''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''H''</sub>}-, тадаtada -{''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''G''</sub>}-.
* ПресекPresek подгрупаpodgrupa ''-{A}-'' иi ''-{B}-'' групеgrupe ''-{G}-'' јеje такођеtakođe подгрупаpodgrupa. УнијаUnija ''-{A}-'' иi ''-{B}-'' јеje подгрупаpodgrupa акоako иi самоsamo акоako илиili ''-{A}-'' садржиsadrži ''-{B}-'' илиili обратноobratno, јерjer наna примерprimer 2 иi 3 суsu уu унијиuniji -{2Z}- иi -{3Z}- алиali њиховаnjihova сумаsuma 5 нијеnije.
* Ako je ''S'' podskup od ''G'', tada postoji minimalna podgrupa koja sadrži ''S'', koja se može naći uzimanjem preseka svih podgrupa koje sadrže ''S''; ovo se označava sa <''S''> i naziva se podgrupom generisanom sa ''S''. Element iz ''G'' je unutar <''S''> ako i samo ako je konačan proizvod elemenata ''S'' i njihovih inverza.
* Ако је ''-{S}-'' подскуп од ''-{G}-'', тада постоји минимална подгрупа која садржи ''-{S}-'', која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже ''-{S}-''; ово се означава са -{<''S''>}- и назива се подгрупом генерисаном са ''-{S}-''. Елемент из ''-{G}-'' је унутар -{<''S''>}- ако и само ако је коначан производ елемената ''-{S}-'' и њихових инверза.
* СвакиSvaki елементelement ''-{a}-'' изiz групеgrupe ''-{G}-'' одређујеodređuje (генеришеgeneriše) цикличнуcikličnu подгрупуpodgrupu -{<''a''>}-. АкоAko јеje -{<''a''>}- изоморфноizomorfno саsa -{'''Z'''/''n'''''Z'''}- заza некиneki позитиванpozitivan цеоceo бројbroj ''-{n}-'', ондаonda јеje ''-{n}-'' најмањиnajmanji позитиванpozitivan цеоceo бројbroj заza којиkoji -{''a''<sup>''n''</sup> = ''e''}-, иi ''-{n}-'' сеse називаnaziva ''редомredom'' одod ''-{a}-''. АкоAko јеje -{<''a''>}- изоморфноizomorfno саsa '''-{Z}-''', тадаtada сеse кажеkaže даda јеje ''-{a}-'' ''бесконачногbeskonačnog редаreda''.
== ПримерPrimer ==
Neka je ''G'' [[Abelova grupa]] čiji su elementi
Нека је ''-{G}-'' [[Абелова група]] чији су елементи
:''-{G}-''={0,2,4,6,1,3,5,7}
i čija je operacija grupe [[modularna aritmetika|sabiranje po modulu osam]]. Njena [[Kejlijeva tabela]] je
и чија је операција групе [[модуларна аритметика|сабирање по модулу осам]]. Њена [[Кејлијева табела]] је
{| border="2" cellpadding="7"
!style="background:#FFFFAA;"| +
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">0
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">2
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">4
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">6
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">1
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">3
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">5
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">7
|-
|}
ОваOva групаgrupa имаima парpar нетривијалнихnetrivijalnih подгрупаpodgrupa: ''-{J}-''={0,4} иi ''-{H}-''={0,2,4,6}, гдеgde јеje ''-{J}-'' такођеtakođe подгрупаpodgrupa одod ''-{H}-''. КајлијеваKajlijeva табелаtabela заza ''-{H}-'' јеje горњиgornji левиlevi квадрантkvadrant КајлијевеKajlijeve табелеtabele заza ''-{G}-''. ГрупаGrupa ''-{G}-'' јеje [[цикличнаciklična групаgrupa|цикличнаciklična]], паpa суsu иi њенеnjene подгрупеpodgrupe цикличнеciklične. УопштеноUopšteno, подгрупеpodgrupe цикличнихcikličnih групаgrupa суsu цикличнеciklične..
== Koseti i Lagranžova teorema ==
== Косети и Лагранжова теорема ==
АкоAko јеje датаdata подгрупаpodgrupa ''-{H}-'' иi некоneko ''-{a}-'' изiz -{G}-, дефинишемоdefinišemo '''левиlevi [[косетkoset]]''' -{''aH'' = {''ah'' : ''h''}- изiz ''-{H}-''}. КакоKako јеje ''-{a}-'' инверзибилноinverzibilno, пресликавањеpreslikavanje -{φ : ''H'' → ''aH''}- дефинисаноdefinisano каоkao -{φ(''h'') = ''ah''}- јеje [[бијекцијаbijekcija]]. ШтавишеŠtaviše, свакиsvaki елементelement изiz ''-{G}-'' сеse налазиnalazi уu тачноtačno једномjednom левомlevom косетуkosetu одod ''-{H}-''; левиlevi косетиkoseti суsu класеklase еквиваленцијеekvivalencije уu односуodnosu наna [[релацијаrelacija еквиваленцијеekvivalencije|релацијуrelaciju еквиваленцијеekvivalencije]] -{''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub>}- [[акоako иi самоsamo акоako]] јеje -{''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''a''<sub>2</sub>}- уu ''-{H}-''. БројBroj левихlevih косетаkoseta ''-{H}-'' сеse називаnaziva ''индексомindeksom'' ''-{H}-'' уu ''-{G}-'', иi означаваoznačava сеse саsa -{[''G'' : ''H'']}-.
[[Lagranžova teorema (teorija grupa)|Lagranžova teorema]] glasi da za konačnu grupu ''G'' i njenu podgrupu ''H'',
[[Лагранжова теорема (теорија група)|Лагранжова теорема]] гласи да за коначну групу ''-{G}-'' и њену подгрупу ''-{H}-'',
:<math> [ G : H ] = { o(G) \over o(H) } </math>
гдеgde -{red(''G'')}- иi -{red(''H'')}- означавајуoznačavaju [[редred (теоријаteorija групаgrupa)|редовеredove]] одod ''-{G}-'' иi ''-{H}-''. РедRed свакеsvake подгрупеpodgrupe одod ''-{G}-'' (иi редred свакогsvakog елементаelementa ''-{G}-'') обавезноobavezno делиdeli -{red(''G'')}-.
'''Десни косети''' су дефинисани аналогно: -{''Ha'' = {''ha'' : ''h''}- у ''-{H}-''}. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак -{[''G'' : ''H'']}-.
'''Desni koseti''' su definisani analogno: ''Ha'' = {''ha'' : ''h'' u ''H''}. Oni su takođe klase ekvivalencije za odgovarajuću relaciju ekvivalencije, i njihov red je jednak [''G'' : ''H''].
Ако је -{''aH'' = ''Ha''}- за свако ''-{a}-'' из ''-{G}-'', тада се каже да је ''-{H}-'' [[нормална подгрупа]]. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.
Ako je ''aH'' = ''Ha'' za svako ''a'' iz ''G'', tada se kaže da je ''H'' [[normalna podgrupa]]. Svaka podgrupa indeksa 2 je normalna: levi i desni koseti su jednostavno podgrupa i njen komplement.
[[Категорија:Теорија група]]
[[Kategorija:Teorija grupa]]
[[az:Altqrup]]
[[bg:Подгрупа]]
| 