Razlike između izmjena na stranici "Inverz (matematika)"

Obrisano 2.455 bajtova ,  prije 10 godina
nema sažetka uređivanja
m (Članku Инверз (математика) je promenjeno ime u Inverz (matematika))
U [[matematika|matematici]], pojam '''inverznog elementa''' predstavlja uopštenje pojmova [[aditivni inverz|negacije]], u odnosu na [[sabiranje]], i [[multiplikativni inverz|recipročnosti]], u odnosu na [[množenje]]. Intuitivno, inverz može da ''poništi'' efekat kombinacije nekog elementa sa drugim datim elementom.
У [[математика|математици]], појам '''инверзног елемента''' представља уопштење појмова [[адитивни инверз|негације]], у односу на [[сабирање]], и [[мултипликативни инверз|реципрочности]], у односу на [[множење]]. Интуитивно, инверз може да ''поништи'' ефекат комбинације неког елемента са другим датим елементом.
 
== Formalna definicija ==
== Формална дефиниција ==
НекаNeka јеje <math>S</math> [[скупskup (математикаmatematika)|скупskup]] саsa [[бинарнаbinarna операцијаoperacija|бинарномbinarnom операцијомoperacijom]] <math>*</math>. АкоAko јеje <math>e</math> [[неутралниneutralni елементelement]] заza <math>(S,*)</math> иi <math>a*b=e</math>, ондаonda јеje <math>a</math> '''левиlevi инверзinverz''' одod <math>b</math> аa <math>b</math> јеje '''десниdesni инверзinverz''' одod <math>a</math>. АкоAko јеje елементelement <math>x</math> уједноujedno иi левиlevi иi десниdesni инверзinverz одod <math>y</math>, ондаonda сеse <math>x</math> називаnaziva '''двостранимdvostranim инверзомinverzom''', илиili простоprosto '''инверзомinverzom''', одod <math>y</math>. ЕлементElement којиkoji имаima двостраниdvostrani инверзinverz уu <math>S</math> сеse називаnaziva '''инвертибилнимinvertibilnim''' уu <math>S</math>. ЕлементElement којиkoji имаima инверзinverz самоsamo саsa једнеjedne странеstrane јеje '''левоlevo инвертибиланinvertibilan''', илиili '''десноdesno инвертибиланinvertibilan'''.
 
Kao što je za <math>(S,*)</math> moguće da ima više levih identiteta ili više desnih identiteta, moguće je da element ima više levih inverza ili više desnih inverza (ali treba imati u vidu da njihova gornja definicija koristi dvostrani identitet, <math>e</math>). Element može čak da ima više levih inverza ''i'' više desnih inverza.
Као што је за <math>(S,*)</math> могуће да има више левих идентитета или више десних идентитета, могуће је да елемент има више левих инверза или више десних инверза (али треба имати у виду да њихова горња дефиниција користи двострани идентитет, <math>e</math>). Елемент може чак да има више левих инверза ''и'' више десних инверза.
 
АкоAko јеje операцијаoperacija <math>*</math> [[асоцијативностasocijativnost|асоцијативнаasocijativna]], ондаonda акоako елементelement имаima иi левиlevi иi десниdesni инверзinverz, ониoni суsu једнакиjednaki иi јединствениjedinstveni. УU овомovom случајуslučaju, скупskup (левоlevo иi десноdesno) инвертибилнихinvertibilnih елеменатаelemenata јеje [[групаgrupa (математикаmatematika)|групаgrupa]] којаkoja сеse називаnaziva [[групаgrupa јединицаjedinica|групомgrupom јединицаjedinica]] одod <math>S</math>, уu ознациoznaci <math>U(S)</math> илиili <math>S^*</math>.
 
== РачунањеRačunanje ==
СвакиSvaki [[реаланrealan бројbroj]] <math>x</math> имаima [[адитивниaditivni инверзinverz]] (инверзinverz уu односуodnosu наna [[сабирањеsabiranje]]) једнакjednak <math>-x</math>. СвакиSvaki реаланrealan бројbroj различитrazličit одod нулеnule, <math>x</math> имаima [[мултипликативниmultiplikativni инверзinverz]] (инверзinverz уu односуodnosu наna [[множењеmnoženje]]) једнакjednak <math>\frac 1{x}</math>. [[0 (бројbroj)|НулаNula]] немаnema мултипликативниmultiplikativni инверзinverz.
 
ФункцијаFunkcija <math>g</math> јеje левиlevi (илиili десниdesni) инверзinverz функцијеfunkcije <math>f</math> (заza [[композицијаkompozicija функијаfunkija|композицијуkompoziciju функцијаfunkcija]]), [[акоako иi самоsamo акоako]] јеje <math>g o f</math> (илиili <math>f o g</math>) [[функцијаfunkcija идентитетаidentiteta]] наna [[доменdomen (математикаmatematika)|доменуdomenu]] (илиili [[кодоменkodomen (математикаmatematika)|кодоменуkodomenu]]) функцијеfunkcije <math>f</math>.
 
[[Kvadratna matrica]] <math>M</math> sa elementima iz [[polje (matematika)|polja]] <math>K</math> je invertibilna (u skupu svih kvadratnih matrica iste dimenzije, u odnosu na [[množenje matrica]]) ako i samo ako je njena [[determinanta]] različita od nule. Ako je determinanta matrice <math>M</math> jednaka nuli, nemoguće je da ta matrica ima jednostrani inverz; stoga postojanje levog inverza implicira postojanje desnog (i obratno). Vidi [[invertibilna matrica]] za detaljniji opis.
[[Квадратна матрица]] <math>M</math> са елементима из [[поље (математика)|поља]] <math>K</math> је инвертибилна (у скупу свих квадратних матрица исте димензије, у односу на [[множење матрица]]) ако и само ако је њена [[детерминанта]] различита од нуле. Ако је детерминанта матрице <math>M</math> једнака нули, немогуће је да та матрица има једнострани инверз; стога постојање левог инверза имплицира постојање десног (и обратно). Види [[инвертибилна матрица]] за детаљнији опис.
 
Opštije, kvadratna matrica nad [[komutativni prsten|komutativnim prstenom]] <math>R</math> je invertibilna ako i samo ako je enjna determinanta invertibilna u <math>R</math>.
Општије, квадратна матрица над [[комутативни прстен|комутативним прстеном]] <math>R</math> је инвертибилна ако и само ако је ењна детерминанта инвертибилна у <math>R</math>.
 
НеквадратнеNekvadratne матрицеmatrice пуногpunog рангаranga имајуimaju једностранеjednostrane инверзеinverze:<ref>[http://video.google.com/videoplay?docid=-8273560482088448841 ПредавањеPredavanje изiz линеарнеlinearne алгебреalgebre професораprofesora ГилбертаGilberta СтрангаStranga саsa МИТMIT; ПредавањеPredavanje #33 - ЛевиLevi иi десниdesni инверзиinverzi; ПсеудоинверзPseudoinverz]</ref>
* ЗаZa <math>A:m\times n \mid m>n</math> постојиpostoji левиlevi инверзinverz: <math> \underbrace{ (A^{T}A)^{-1}A^{T} }_{ A^{-1}_\text{left} } A = I_{n} </math>
* ЗаZa <math>A:m\times n \mid m<n</math> постојиpostoji десниdesni инверзinverz: <math> A \underbrace{ A^{T}(AA^{T})^{-1} }_{ A^{-1}_\text{right} } = I_{m} </math>
Nijedna matrica koja nije punog ranga nema bilo kakav (ni jednostrani) inverz. Međutim, [[Mur-Penrouzov pseudoinverz]] postoji za sve matrice, i poklapa se sa levim ili desnim (ili dvostranim) inverzom ako on postoji.
Ниједна матрица која није пуног ранга нема било какав (ни једнострани) инверз. Међутим, [[Мур-Пенроузов псеудоинверз]] постоји за све матрице, и поклапа се са левим или десним (или двостраним) инверзом ако он постоји.
 
== ПримерPrimer ==
<math>A:2\times 3 =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
</math>
<br>
ДаклеDakle, какоkako јеje <math>m<n</math>, постојиpostoji десниdesni инверзinverz. <math>A^{-1}_{desni} = A^{T}(AA^{T})^{-1}</math>
<br>
<math>AA^{T} =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
14 & 32\\
32 & 77
\end{bmatrix}
 
</math><br><math>
(AA^{T})^{-1}
=
\begin{bmatrix}
14 & 32\\
32 & 77
\end{bmatrix}^{-1}
=
\frac{1}{54} \begin{bmatrix}
77 & -32\\
-32 & 14
\end{bmatrix}
</math>
 
=
\frac{1}{54}\begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
77 & -32\\
-32 & 14
\end{bmatrix}
 
=
\frac{1}{18}
\begin{bmatrix}
-17 & 8\\
-2 & 2\\
13 & -4
\end{bmatrix}
=
A^{-1}_{desni}
</math>
 
ЛевиLevi инверзinverz неne постојиpostoji, јерjer <math>A^{T}A =
\begin{bmatrix}
1 & 4\\
2 & 5\\
3 & 6
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
17 & 22 & 27 \\
22 & 29 & 36\\
27 & 36 & 45
\end{bmatrix}
 
</math>, što je singularna matrica, koja ne može da se invertuje.
</math>, што је сингуларна матрица, која не може да се инвертује.
 
 
 
== РеференцеReference ==
{{рефлистreflist}}
 
[[Категорија:Алгебра]]