|
[[Image:Clock_group.svg|thumb|desno|300p|Ova slika ilustruje kako sati na časovniku formiraju grupu.]]
[[Слика:Clock_group.svg|мини|десно|300п|Ова слика илуструје како сати на часовнику формирају групу.]]
U [[apstraktna algebra|apstraktnoj algebri]], '''grupa''' je [[skup]] sa [[binarna operacija|binarnom operacijom]], koji zadovoljava određene aksiome, navedene niže. Na primer, skup [[ceo broj|celih brojeva]] sa [[sabiranje]]m je grupa. Grana matematike koja proučava grupe je [[teorija grupa]].
У [[апстрактна алгебра|апстрактној алгебри]], '''група''' је [[скуп]] са [[бинарна операција|бинарном операцијом]], који задовољава одређене аксиоме, наведене ниже. На пример, скуп [[цео број|целих бројева]] са [[сабирање]]м је група. Грана математике која проучава групе је [[теорија група]].
Mnoge strukture kojima se matematika bavi su u stvari grupe. Među njima su poznati brojevni sistemi, kao što su celi brojevi, [[racionalan broj|racionalni brojevi]], [[realan broj|realni brojevi]], i [[kompleksan broj|kompleksni brojevi]] pod sabiranje, kao i racionalni brojevi različiti od nule, realni brojevi i kompleksni brojevi pod [[množenje]]m. Drugi važni primeri su grupe ne-singularnih [[matrica (matematika)|matrica]] pod množenjem, i grupa [[inverzna funkcija|invertibilnih funkcija]] pod slaganjem funkcija. Teorija grupa omogućava da se svojstva ovakvih struktura izučavaju u opštim slučajevima.
Многе структуре којима се математика бави су у ствари групе. Међу њима су познати бројевни системи, као што су цели бројеви, [[рационалан број|рационални бројеви]], [[реалан број|реални бројеви]], и [[комплексан број|комплексни бројеви]] под сабирање, као и рационални бројеви различити од нуле, реални бројеви и комплексни бројеви под [[множење]]м. Други важни примери су групе не-сингуларних [[матрица (математика)|матрица]] под множењем, и група [[инверзна функција|инвертибилних функција]] под слагањем функција. Теорија група омогућава да се својства оваквих структура изучавају у општим случајевима.
Teorija grupa ima široku primenu u matematici i drugim prirodnim naukama. Mnoge [[algebarska struktura|algebarske strukture]], kao što su [[polje (algebra)|polja]] i [[vektorski prostor]]i mogu koncizno da se definišu u terminima grupa, i teorija grupa pruža važne alate za proučavanje [[simetrija|simetrije]], jer simetrije svakog objekta grade grupu. Grupe su stoga ključne apstrakcije u granama fizike koje se tiču principa simetrije, kao što su [[teorija relativiteta]], [[kvantna mehanika]], i [[fizika čestica]]. Štaviše, njihova mogućnost da predstave [[geometrija|geometrijske]] transformacije im donosi primenu u [[hemija|hemiji]], [[računarstvo|računarstvu]], i drugim oblastima.
Теорија група има широку примену у математици и другим природним наукама. Многе [[алгебарска структура|алгебарске структуре]], као што су [[поље (алгебра)|поља]] и [[векторски простор]]и могу концизно да се дефинишу у терминима група, и теорија група пружа важне алате за проучавање [[симетрија|симетрије]], јер симетрије сваког објекта граде групу. Групе су стога кључне апстракције у гранама физике које се тичу принципа симетрије, као што су [[теорија релативитета]], [[квантна механика]], и [[физика честица]]. Штавише, њихова могућност да представе [[геометрија|геометријске]] трансформације им доноси примену у [[хемија|хемији]], [[рачунарство|рачунарству]], и другим областима.
== ДефиницијеDefinicije ==
Grupa (G, *) je [[skup]] G sa binarnom operacijom *, koja zadovoljava sledeće četiri [[aksiom]]e:
Група (-{G}-, *) је [[скуп]] -{G}- са бинарном операцијом *, која задовољава следеће четири [[аксиом]]е:
* ''[[ЗатвореностZatvorenost (математикаmatematika)|ЗатвореностZatvorenost]]'': ЗаZa свакоsvako ''-{a}-'', ''-{b}-'' изiz ''-{G}-'', резултатrezultat ''-{a}-'' * ''-{b}-'' јеje такођеtakođe уu ''-{G}-''.
* ''[[АсоцијативностAsocijativnost]]'': ЗаZa свакоsvako ''-{a}-'', ''-{b}-'' иi ''-{c}-'' изiz ''-{G}-'', (''-{a}-'' * ''-{b}-'') * ''-{c}-'' = ''-{a}-'' * (''-{b}-'' * ''-{c}-'').
* ''[[НеутралNeutral (математикаmatematika)|НеутралNeutral]]'': ПостојиPostoji елементelement ''-{e}-'' изiz ''-{G}-'' такавtakav даda заza свакоsvako ''-{a}-'' изiz ''-{G}-'', -{''e'' * ''a'' = ''a'' * ''e'' = ''a''}-.
* ''[[ИнверзInverz (математикаmatematika)|ИнверзInverz]]'': ЗаZa свакоsvako ''-{a}-'' изiz ''-{G}-'', постојиpostoji елементelement ''-{b}-'', такођеtakođe изiz ''-{G}-'', такавtakav даda -{''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a'' = ''e''}-, гдеgde јеje ''-{e}-'' неутралneutral.
Najčešće se zahtev za zatvorenošću ne navodi eksplicitno, jer se on podrazumeva u iskazu da je * binarna operacija.
Најчешће се захтев за затвореношћу не наводи експлицитно, јер се он подразумева у исказу да је * бинарна операција.
Može se pokazati da grupa ima tačno jedan neutral.
Може се показати да група има тачно један неутрал.
Može se pokazati da je inverz datog elementa jedinstven, i da je levi i desni inverz elementa isti. Postoje i uže definicije, koje zamenjuju drugu i treću aksiomu konceptom ''levog'' (ili ''desnog'') neutrala i inverza.
Може се показати да је инверз датог елемента јединствен, и да је леви и десни инверз елемента исти. Постоје и уже дефиниције, које замењују другу и трећу аксиому концептом ''левог'' (или ''десног'') неутрала и инверза.
Grupa ''(G,*)'' se često označava samo sa ''G'', kad ne postoji dvosmislenost oko toga šta je operacija.
Група ''-{(G,*)}-'' се често означава само са ''-{G}-'', кад не постоји двосмисленост око тога шта је операција.
== Osnovni koncepti teorije grupa ==
== Основни концепти теорије група ==
=== РедRed групаgrupa иi елеменатаelemenata ===
'''РедRed групеgrupe ''-{G}-''''', којиkoji сеse означаваoznačava саsa |''-{G}-''|, јеje бројbroj елеменатаelemenata уu скупуskupu ''-{G}-''. АкоAko редred нијеnije коначанkonačan, тадаtada јеje групаgrupa ''бесконачнаbeskonačna групаgrupa'', штоšto сеse означаваoznačava саsa |''-{G}-''| = ∞.
'''РедRed елементаelementa ''-{a}-''''' изiz групеgrupe ''-{G}-'' јеje најмањиnajmanji позитиванpozitivan цеоceo бројbroj ''-{n}-'' такавtakav даda -{''a<sup>n</sup> = e''}-, гдеgde јеje -{''a<sup>n</sup>''}- умножакumnožak ''-{a}-'' самимsamim собомsobom ''-{n}-'' путаputa (илиili другаdruga погоднаpogodna композицијаkompozicija уu зависностиzavisnosti одod оператораoperatora групеgrupe). АкоAko неne постојиpostoji таквоtakvo ''-{n}-'', тадаtada сеse кажеkaže даda јеje редred одod ''-{a}-'' бесконачанbeskonačan.
=== ПодгрупеPodgrupe ===
СкупSkup ''-{H}-'' јеje '''[[подгрупаpodgrupa]]''' групеgrupe ''-{G}-'' акоako јеje подскупpodskup одod ''-{G}-'' иi групаgrupa уu односуodnosu наna операцијуoperaciju дефинисануdefinisanu наna ''-{G}-''. ДругимDrugim речимаrečima, ''-{H}-'' јеje подгрупаpodgrupa одod (''-{G}-'', *) акоako јеje рестрикцијаrestrikcija одod * наna ''-{H}-'' операцијаoperacija групеgrupe наna ''-{H}-''. КакоKako суsu осталаostala својстваsvojstva аутоматскиautomatski задовољенаzadovoljena, ''-{H}- ⊂ -{G}-'' јеje подгрупаpodgrupa групеgrupe ''-{G}-'' акоako иi самоsamo акоako јеje затворенzatvoren уu односуodnosu наna * иi инверзinverz.
АкоAko јеje ''-{G}-'' коначнаkonačna групаgrupa, тадаtada јеje коначнаkonačna иi ''-{H}-''. ПриPri томtom редred одod ''-{H}-'' делиdeli редred одod ''-{G}-'' ([[ЛагранжоваLagranžova теоремаteorema (теоријаteorija групаgrupa)|ЛагранжоваLagranžova теоремаteorema]]).
=== АбеловеAbelove групеgrupe ===
ГрупаGrupa ''-{G}-'' јеje '''[[АбеловаAbelova групаgrupa]]''' (илиili '''комутативнаkomutativna''') акоako јеje операцијаoperacija комутативнаkomutativna, тоto јестjest, заza свакоsvako ''-{a}-'', ''-{b}-'' изiz ''-{G}-'', -{''a'' * ''b'' = ''b'' * ''a''}-. '''НеNe-АбеловаAbelova''' групаgrupa јеje групаgrupa којаkoja нијеnije АбеловаAbelova. АбеловеAbelove групеgrupe суsu добилеdobile имеime поpo математичаруmatematičaru [[НилсNils АбелAbel|НилсуNilsu АбелуAbelu]].
=== ЦикличнаCiklična групаgrupa ===
'''[[Ciklična grupa]]''' je grupa čiji elementi mogu da budu generisani uzastopnom primenom operacije koja definiše grupu (i operacije uzimanja inverznog elementa), primenjene na samo jedan element te grupe. Ovaj primitivni element se naziva generatorom, ili primitivnim elementom grupe.
'''[[Циклична група]]''' је група чији елементи могу да буду генерисани узастопном применом операције која дефинише групу (и операције узимања инверзног елемента), примењене на само један елемент те групе. Овај примитивни елемент се назива генератором, или примитивним елементом групе.
Multiplikativna ciklična grupa gde je ''G'' grupa, a ''a'' generator:
Мултипликативна циклична група где је ''-{G}-'' група, а ''-{a}-'' генератор:
<math>G = \{ a^n \mid n \in \Z \} </math>
Aditivna ciklična grupa, sa generatorom ''a'':
Адитивна циклична група, са генератором ''-{a}-'':
<math>G' = \{ n * a \mid n \in \Z \}</math>
Ako se sukcesivna primena operacije koja definiše grupu primeni na ma koji (moguće neprimitivni) element grupe, dobija se [[ciklična podgrupa]]. Red ciklične podgrupe deli red grupe. Stoga, ako je red grupe [[prost broj|prost]], svi njeni elementi, izuzev neutrala su primitivni elementi grupe.
Ако се сукцесивна примена операције која дефинише групу примени на ма који (могуће непримитивни) елемент групе, добија се [[циклична подгрупа]]. Ред цикличне подгрупе дели ред групе. Стога, ако је ред групе [[прост број|прост]], сви њени елементи, изузев неутрала су примитивни елементи групе.
Važno je napomenuti da grupa sadrži sve ciklične podgrupe generisane svakim od elemenata grupe. Međutim, grupa konstruisana iz cikličnih podgrupa nije obavezno ciklična podgrupa. Na primer, [[Klajnova četvorna grupa]] <math>({\mathbb Z}/2{\mathbb Z})^2</math> nije ciklična grupa, iako je konstruisana od dve ciklične grupe reda 2.
Важно је напоменути да група садржи све цикличне подгрупе генерисане сваким од елемената групе. Међутим, група конструисана из цикличних подгрупа није обавезно циклична подгрупа. На пример, [[Клајнова четворна група]] <math>({\mathbb Z}/2{\mathbb Z})^2</math> није циклична група, иако је конструисана од две цикличне групе реда 2.
Svaka konačna Abelova grupa se može predstaviti kao direktan proizvod nekih svojih cikličnih podgrupa, vidi [[Strukturna teorema za konačne Abelove grupe]].
Свака коначна Абелова група се може представити као директан производ неких својих цикличних подгрупа, види [[Структурна теорема за коначне Абелове групе]].
== ОзнакеOznake заza групеgrupe ==
Moguće je koristiti različite oznake za grupe u zavisnosti od konteksta i operacije.
Могуће је користити различите ознаке за групе у зависности од контекста и операције.
* АдитивнеAditivne групеgrupe користеkoriste ''+'' даda означеoznače сабирањеsabiranje, аa ''-'' даda означеoznače инверзеinverze. НаNa примерprimer, -{''a'' + (−''a'') = 0}- уu '''-{Z}-'''. ПремаPrema општеopšte прихваћенојprihvaćenoj конвенцијиkonvenciji, ознакаoznaka ''+'' сеse користиkoristi искључивоisključivo заza комутативнеkomutativne групеgrupe.
* МултипликативнеMultiplikativne групеgrupe користеkoriste ''*'' даda означеoznače множењеmnoženje, аa ''<sup>-1</sup>'' даda означеoznače инверзеinverze. НаNa примерprimer, -{''a'' * ''a''<sup>-1</sup> = 1}-. ВрлоVrlo честоčesto сеse изостављаizostavlja ''*'' иi записујеzapisuje сеse самоsamo -{''aa''<sup>-1</sup>}-.
* ГрупеGrupe функцијаfunkcija користеkoriste ''•'' даda означеoznače композицијуkompoziciju функцијаfunkcija, иi <sup>-1</sup> даda означеoznače инверзеinverze. НаNa примерprimer, -{''g'' • ''g''<sup>-1</sup> = ''e''}-. ВрлоVrlo честоčesto сеse изостављаizostavlja ''•'' иi записујеzapisuje сеse самоsamo -{''gg''<sup>-1</sup>}-.
Izostavljanje simbola za operaciju je načelno prihvatljivo, i na čitaocu je da zna kontekst i operaciju grupe.
Изостављање симбола за операцију је начелно прихватљиво, и на читаоцу је да зна контекст и операцију групе.
КадаKada сеse дефинишуdefinišu групеgrupe, стандарднаstandardna нотацијаnotacija подразумеваpodrazumeva даda сеse користеkoriste заградеzagrade заza дефинисањеdefinisanje групеgrupe иi њенеnjene операцијеoperacije. НаNa примерprimer, (-{H}-, +) означаваoznačava даda јеje скупskup -{H}- групаgrupa уu односуodnosu наna сабирањеsabiranje. ЗаZa групеgrupe каоkao штоšto суsu (-{Z<sub>n</sup>}-, +) иi (-{F<sub>n</sub>}-*, *) јеje уобичајеноuobičajeno даda сеse изоставеizostave заградеzagrade иi операцијаoperacija, нпрnpr. -{Z<sub>n</sup>}- иi -{F<sub>n</sub>}-*. ТакођеTakođe јеje исправноispravno даda сеse групаgrupa означаваoznačava ознакомoznakom заza њенnjen скупskup, нпрnpr.''-{H}-'' илиili <math>\Z</math>.
Neutral se označava sa ''e'', ali se ponekad koristi i neka druga oznaka u zavisnosti od grupe:
Неутрал се означава са ''-{e}-'', али се понекад користи и нека друга ознака у зависности од групе:
* Kod multiplikativnih grupa, neutral može da se označava sa 1.
* Код мултипликативних група, неутрал може да се означава са 1.
* Kod grupa invertibilnih matrica, neutral se obično označava sa I ili E.
* Код група инвертибилних матрица, неутрал се обично означава са -{I}- или -{E}-.
* Kod aditivnih grupa, neutral može da se označava sa 0.
* Код адитивних група, неутрал може да се означава са 0.
* КодKod групаgrupa функцијаfunkcija, неутралneutral сеse обичноobično означаваoznačava саsa -{f}-<sub>0</sub> илиili -{id}-.
АкоAko јеje ''-{S}-'' подскупpodskup одod ''-{G}-'' иi ''-{x}-'' јеje елементelement изiz ''-{G}-'', тадаtada, уu мултипликативнојmultiplikativnoj нотацијиnotaciji, ''-{xS}-'' јеje скупskup свихsvih производаproizvoda {-{''xs'' : ''s''}- изiz ''-{S}-''}; сличноslično, нотацијаnotacija -{''Sx'' = {''sx'' : ''s''}- изiz ''-{S}-''}; иi заza дваdva подскупаpodskupa ''-{S}-'' иi ''-{T}-'' одod ''-{G}-'', сеse пишеpiše ''-{ST}-'' заza {-{''st'' : ''s''}- изiz ''-{S}-'', ''-{t}-'' изiz ''-{T}-''}. УU адитивнојaditivnoj нотацијиnotaciji, записујеzapisuje сеse -{''x'' + ''S'', ''S'' + ''x''}-, иi -{''S'' + ''T''}- заza одговарајућеodgovarajuće скуповеskupove.
== ПримериPrimeri групаgrupa ==
=== Abelova grupa: celi brojevi pod sabiranjem ===
=== Абелова група: цели бројеви под сабирањем ===
ПознатаPoznata групаgrupa јеje групаgrupa [[цеоceo бројbroj|целихcelih бројеваbrojeva]] подpod [[сабирањеsabiranje]]мm. НекаNeka јеje '''-{Z}-''' скупskup целихcelih бројеваbrojeva, {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, иi некаneka симболsimbol "+" означаваoznačava операцијуoperaciju сабирањаsabiranja. ТадаTada јеje ('''-{Z}-''', +) групаgrupa.
Dokaz:
Доказ:
* '''ЗатвореностZatvorenost''': АкоAko суsu ''-{a}-'' иi ''-{b}-'' целиceli бројевиbrojevi, тадаtada јеje ''-{a}-'' + ''-{b}-'' цеоceo бројbroj.
* '''АсоцијативностAsocijativnost''': АкоAko суsu ''-{a}-'', ''-{b}-'', иi ''-{c}-'' целиceli бројевиbrojevi, тадаtada јеje -{(''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')}-.
* '''НеутралNeutral''': 0 јеje цеоceo бројbroj, иi заza свакиsvaki цеоceo бројbroj ''-{a}-'', -{0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a''}-.
* '''ИнверзInverz''': АкоAko јеje ''-{a}-'' цеоceo бројbroj, тадаtada цеоceo бројbroj −''-{a}-'' задовољаваzadovoljava правилаpravila инверзаinverza: -{''a'' + (−''a'') = (−''a'') + ''a'' = 0}-.
ОваOva групаgrupa јеje АбеловаAbelova, јерjer -{''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''}-.
Ako proširimo ovaj primer dalje, i razmatramo cele brojeve sa sabiranjem i množenjem, dobijamo komplikovaniju algebarsku strukturu, koja se zove [[prsten (algebra)|prsten]]. (Ali celi brojevi sa množenjem nisu grupa, vidi dole.)
Ако проширимо овај пример даље, и разматрамо целе бројеве са сабирањем и множењем, добијамо компликованију алгебарску структуру, која се зове [[прстен (алгебра)|прстен]]. (Али цели бројеви са множењем нису група, види доле.)
=== Ciklične multiplikativne grupe ===
=== Цикличне мултипликативне групе ===
U slučaju ciklične [[multiplikativna grupa|multiplikativne grupe]] ''G'', svi elementi ''a<sup>n</sup>'' grupe su dobijeni skupom svih celobrojnih eksponenata primitivnog elementa te grupe :
У случају цикличне [[мултипликативна група|мултипликативне групе]] ''-{G}-'', сви елементи -{''a<sup>n</sup>''}- групе су добијени скупом свих целобројних експонената примитивног елемента те групе :
<math>G = \{ a^n \mid n \in \Z \pmod{m \in \Z} \}</math>
УU овомovom примеруprimeru, акоako јеje ''-{a}-'' једнакоjednako 2, иi операцијаoperacija јеje операторoperator множењаmnoženja, тадаtada ''-{G}-'' = <math>\{ .., 2^{-2}, 2^{-1}, 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, .. \}</math> = <math>\{ .., 0,25, 0,5, 1, 2, 4, 8, .. \}</math>. [[МодулоModulo]] ''-{m}-'' можеmože даda вежеveže групуgrupu уu [[коначанkonačan скупskup]] саsa неne-разломљенимrazlomljenim скупомskupom елеменатаelemenata, јерjer биbi инверзinverz (иi <math>x^{-2}</math>, итдitd.) биоbio унутарunutar скупаskupa.
=== ''НијеNije'' групаgrupa: целиceli бројевиbrojevi подpod множењемmnoženjem ===
Sa druge strane, ako posmatramo cele brojeve sa operacijom [[množenje|množenja]], označenog sa "·", tada ('''Z''', ·) nije grupa. Ovo zadovoljava većinu aksioma, ali nema inverze:
Са друге стране, ако посматрамо целе бројеве са операцијом [[множење|множења]], означеног са "·", тада ('''-{Z}-''', ·) није група. Ово задовољава већину аксиома, али нема инверзе:
* '''ЗатвореностZatvorenost''': АкоAko суsu ''-{a}-'' иi ''-{b}-'' целиceli бројевиbrojevi, тадаtada јеje ''-{a}-'' · ''-{b}-'' цеоceo бројbroj.
* '''АсоцијативностAsocijativnost''': АкоAko суsu ''-{a}-'', ''-{b}-'', иi ''-{c}-'' целиceli бројевиbrojevi, ондаonda -{(''a'' · ''b'') · ''c'' = ''a'' · (''b'' · ''c'')}-.
* '''НеутралNeutral''': 1 јеje цеоceo бројbroj, иi заza свакиsvaki цеоceo бројbroj -{''a'', 1 · ''a'' = ''a'' · 1 = ''a''}-.
* МеђутимMeđutim, '''нијеnije''' тачноtačno даda кадkad годgod јеje ''-{a}-'' цеоceo бројbroj, постојиpostoji цеоceo бројbroj ''-{b}-'' такавtakav даda -{''ab'' = ''ba'' = 1}-. НаNa примерprimer, ''-{a}-'' = 2 јеje цеоceo бројbroj, алиali јединоjedino решењеrešenje једначинеjednačine ''-{ab}-'' = 1 уu овомovom случајуslučaju јеje ''-{b}- = 1/2''. НеNe можемоmožemo даda изаберемоizaberemo ''-{b}-'' = 1/2 јерjer 1/2 нијеnije цеоceo бројbroj.
Kako nema svaki element iz ('''Z''', ·) inverz, ('''Z''', ·) ''nije'' grupa. Međutim, ovo jeste komutativni [[monoid]], što je struktura koja se definiše slično grupi, ali bez zahteva za postojanjem inverza.
Како нема сваки елемент из ('''-{Z}-''', ·) инверз, ('''-{Z}-''', ·) ''није'' група. Међутим, ово јесте комутативни [[моноид]], што је структура која се дефинише слично групи, али без захтева за постојањем инверза.
=== Abelova grupa: racionalni brojevi bez nule pod množenjem ===
=== Абелова група: рационални бројеви без нуле под множењем ===
ПосматрајмоPosmatrajmo скупskup [[рационаланracionalan бројbroj|рационалнихracionalnih бројеваbrojeva]] '''-{Q}-''', скупskup свихsvih разломакаrazlomaka -{''a''/''b''}-, гдеgde суsu ''-{a}-'' иi ''-{b}-'' целиceli бројевиbrojevi, аa ''-{b}-'' јеje различитоrazličito одod нулеnule, иi операцијаoperacija множењаmnoženja сеse означаваoznačava саsa "·". КакоKako рационаланracionalan бројbroj [[0 (бројbroj)|0]] немаnema мултипликативниmultiplikativni инверзinverz, ('''-{Q}-''', ·), каоkao ('''-{Z}-''', ·), нијеnije групаgrupa.
МеђутимMeđutim, акоako користимоkoristimo скупskup свихsvih рационалнихracionalnih бројеваbrojeva ''различитихrazličitih одod нулеnule'', '''-{Q}-''' \ {0}, тадаtada ('''-{Q}-''' \ {0}, ·) ''градиgradi'' АбеловуAbelovu групуgrupu.
* '''Zatvorenost''', '''asocijativnost''', i '''neutral''' je lako proveriti zbog svojstava celih brojeva.
* '''Затвореност''', '''асоцијативност''', и '''неутрал''' је лако проверити због својстава целих бројева.
* '''ИнверзInverz''': ИнверзInverz одod -{''a''/''b''}- јеje -{''b''/''a''}- иi аксиомаaksioma јеje задовољенаzadovoljena.
Ne gubimo zatvorenost uklanjanjem nule, jer je proizvod dva racionalna broja različita od nule uvek različit od nule. Kao što celi brojevi daju [[prsten (matematika)|prsten]], racionalni brojevi daju algebarsku strukturu [[polje (matematika)|polje]], koja dopušta operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja.
Не губимо затвореност уклањањем нуле, јер је производ два рационална броја различита од нуле увек различит од нуле. Као што цели бројеви дају [[прстен (математика)|прстен]], рационални бројеви дају алгебарску структуру [[поље (математика)|поље]], која допушта операције сабирања, одузимања, множења и дељења.
=== Konačna ne-Abelova grupa: permutacije skupa ===
=== Коначна не-Абелова група: пермутације скупа ===
Za konkretniji primer grupe, uzmimo tri obojene pločice (crvenu, zelenu i plavu) na početku postavljene u raspored CZP. Neka je ''a'' dejstvo "zameni prvu i drugu pločicu", i neka je ''b'' dejstvo "zameni drugu i treću pločicu".
За конкретнији пример групе, узмимо три обојене плочице (црвену, зелену и плаву) на почетку постављене у распоред ЦЗП. Нека је ''-{a}-'' дејство "замени прву и другу плочицу", и нека је ''-{b}-'' дејство "замени другу и трећу плочицу".
[[СликаImage:Group diagram d6.svg|оквирokvir|цесноcesno|[[ЦикличниCiklični дијаграмdijagram]] заza -{S}-<sub>3</sub>.]]
U multiplikativnom obliku, tradicionalno zapisujemo ''xy'' za kombinovano dejstvo u "prvo uradi ''y'', a zatim uradi ''x''"; tako da je ''ab'' akcija CZP → CPZ → PCZ, tj, "uzmi plavu pločicu, i pomeri je na početak".
У мултипликативном облику, традиционално записујемо ''-{xy}-'' за комбиновано дејство у "прво уради ''-{y}-'', а затим уради ''-{x}-''"; тако да је ''-{ab}-'' акција ЦЗП → ЦПЗ → ПЦЗ, тј, "узми плаву плочицу, и помери је на почетак".
Ako sa ''e'' označavamo dejstvo "ostavi pločice tamo gde jesu" (neutral), tada možemo da napišemo šest [[permutacija]] [[skup]]a tri pločice kao sledeća dejstva:
Ако са ''-{e}-'' означавамо дејство "остави плочице тамо где јесу" (неутрал), тада можемо да напишемо шест [[пермутација]] [[скуп]]а три плочице као следећа дејства:
* ''-{e}-'' : ЦЗПCZP → ЦЗПCZP
* ''-{a}-'' : ЦЗПCZP → ЗЦПZCP
* ''-{b}-'' : ЦЗПCZP → ЦПЗCPZ
* ''-{ab}-'' : ЦЗПCZP → ПЦЗPCZ
* ''-{ba}-'' : ЦЗПCZP → ЗПЦZPC
* ''-{aba}-'' : ЦЗПCZP → ПЗЦPZC
ДејствоDejstvo ''-{aa}-'' имаima ефекатefekat ЦЗПCZP → ЗЦПZCP → ЦЗПCZP, штоšto остављаostavlja плочицеpločice тамоtamo гдеgde суsu иi билеbile; такоtako даda записујемоzapisujemo ''-{aa}-'' = ''-{e}-''.
Slično,
Слично,
* -{''bb'' = ''e''}-,
* -{(''aba'')(''aba'') = ''e''}-, иi
* -{(''ab'')(''ba'') = (''ba'')(''ab'') = ''e''}-;
tako da svako od gore navedenih dejstava ima inverz.
тако да свако од горе наведених дејстава има инверз.
Proverom, možemo takođe da utvrdimo asocijativnost i zatvorenost; obratimo pažnju na primer da
Провером, можемо такође да утврдимо асоцијативност и затвореност; обратимо пажњу на пример да
* -{(''ab'')''a'' = ''a''(''ba'') = ''aba''}-, иi
* -{(''ba'')''b'' = ''b''(''ab'') = ''bab''}-.
ОваOva групаgrupa сеse називаnaziva ''[[симетричнаsimetrična групаgrupa|симетричномsimetričnom групомgrupom]] надnad 3 словаslova'', илиili ''-{S}-''<sub>3</sub>.
ИмаIma редred 6 (илиili 3 [[факторијелfaktorijel]]), иi нијеnije АбеловаAbelova (јерjer, наna примерprimer ''-{ab}-'' ≠ ''-{ba}-'').
КакоKako јеje ''-{S}-''<sub>3</sub> добијеноdobijeno одod основнихosnovnih дејставаdejstava ''-{a}-'' иi ''-{b}-'', кажемоkažemo даda јеje скупskup {''-{a}-'', ''-{b}-''} ''[[генераторниgeneratorni скупskup групеgrupe]]''.
Opštije, možemo da definišemo [[simetrična grupa|simetričnu grupu]] od svih permutacija ''N'' objekata. Ova grupa se označava sa ''S''<sub>''N''</sub> i reda je ''N'' faktorijel.
Општије, можемо да дефинишемо [[симетрична група|симетричну групу]] од свих пермутација ''-{N}-'' објеката. Ова група се означава са ''-{S}-''<sub>''-{N}-''</sub> и реда је ''-{N}-'' факторијел.
Jedan od razloga zašto su permutacione grupe važne je što se svaka konačna grupa ''G'' može predstaviti kao podgrupa simetrične grupe ''S''<sub>''N''</sub> (gde je ''N'' broj elemenata grupe ''G''); ovaj rezultat je [[Kejlijeva teorema]].
Један од разлога зашто су пермутационе групе важне је што се свака коначна група -{''G''}- може представити као подгрупа симетричне групе ''-{S}-''<sub>''-{N}-''</sub> (где је ''-{N}-'' број елемената групе -{''G''}-); овај резултат је [[Кејлијева теорема]].
== Jednostavne teoreme ==
== Једноставне теореме ==
* Grupa ima tačno jedan neutral.
* Група има тачно један неутрал.
:''ДоказDokaz'': ПретпоставимоPretpostavimo даda суsu иi ''-{e}-'' иi ''-{f}-'' неутралиneutrali. ТадаTada поpo дефиницијиdefiniciji неутралаneutrala, ''-{fe}-'' = ''-{ef}-'' = ''-{e}-'' иi такођеtakođe -{''ef'' = ''fe'' = ''f''}-. АлиAli ондаonda јеje -{''e'' = ''f''}-.
:Sledi da je neutral jedinstven.
:Следи да је неутрал јединствен.
* Svaki element ima tačno jedan inverz.
* Сваки елемент има тачно један инверз.
:''ДоказDokaz'': ПретпоставимоPretpostavimo даda суsu иi ''-{b}-'' иi ''-{c}-'' инверзиinverzi елементаelementa ''-{x}-''. ТадаTada, поpo дефиницијиdefiniciji инверзаinverza, -{''xb'' = ''bx'' = ''e'' иi ''xc'' = ''cx'' = ''e''}-. АлиAli ондаonda:
::{|
|<math>xb = xc</math>
|-
|<math>bxb = bxc</math> || (множењемmnoženjem слеваsleva саsa ''-{b}-'')
|-
|<math>eb = ec</math> || (коришћењемkorišćenjem ''-{bx}-'' = ''-{e}-'')
|-
|<math>b = c</math> || (аксиомаaksioma неутралногneutralnog елементаelementa)
|}
:Sledi da je inverz jedinstven.
:Следи да је инверз јединствен.
Prva dva svojstva u stvari proizlaze iz asocijativnosti binarnih operacija definisanih na skupu. Ako je data binarna operacija na skupu, postoji najviše jedan neutral i najviše jedan inverz za svaki element (bez obzira na to imaju li ostali elementi inverze).
Прва два својства у ствари произлазе из асоцијативности бинарних операција дефинисаних на скупу. Ако је дата бинарна операција на скупу, постоји највише један неутрал и највише један инверз за сваки елемент (без обзира на то имају ли остали елементи инверзе).
* МожеMože сеse вршитиvršiti [[дељењеdeljenje (математикаmatematika)|дељењеdeljenje]] уu групамаgrupama; тоto јестjest, акоako суsu датиdati елементиelementi ''-{a}-'' иi ''-{b}-'' групеgrupe ''-{G}-'', постојиpostoji тачноtačno једноjedno решењеrešenje ''-{x}-'' изiz ''-{G}-'' једначинеjednačine -{''x'' * ''a'' = ''b''}- иi тачноtačno једноjedno решењеrešenje ''-{y}-'' изiz ''-{G}-'' једначинеjednačine -{''a'' * ''y'' = ''b''}-. ОпрезOprez: уu неne-АбеловимAbelovim групамаgrupama, овиovi елементиelementi ''-{x}-'' иi ''-{y}-'' неne морајуmoraju битиbiti једнакиjednaki, теte такоtako уu општемopštem ознакаoznaka ''-{b}-/-{a}-'' немаnema смислаsmisla.
* ИзразIzraz "-{''a''<sub>1</sub> * ''a''<sub>2</sub> * ··· * ''a''<sub>''n''</sub>}-" јеje недвосмисленnedvosmislen, јерjer ћеće резултатrezultat битиbiti истиisti невезаноnevezano одod тогаtoga гдеgde поставимоpostavimo заградеzagrade. (РезултатRezultat применеprimene [[принципprincip математичкеmatematičke индукцијеindukcije|принципаprincipa математичкеmatematičke индукцијеindukcije]] наna асоцијативноasocijativno својствоsvojstvo.)
* (''ЧарапеČarape иi ципелеcipele'') ИнверзInverz производаproizvoda јеje производproizvod инверзаinverza уu супротномsuprotnom редоследуredosledu: -{(''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> = ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup>}-.
:''ДоказDokaz'': ПоказаћемоPokazaćemo даda -{(ab)(b<sup>-1</sup>a<sup>-1</sup>) = (b<sup>-1</sup>a<sup>-1</sup>)(ab) = e}-, каоkao штоšto сеse тражиtraži поpo дефиницијиdefiniciji инверзаinverza.
:::{|
|<math>(ab)(b^{-1}a^{-1})</math> || = || <math>a(bb^{-1})a^{-1}</math> || (асоцијативностasocijativnost)
|-
| || = || <math>aea^{-1}</math> || (дефиницијаdefinicija инверзаinverza)
|-
| || = || <math>aa^{-1}</math> || (дефиницијаdefinicija неутралногneutralnog елементаelementa)
|-
| || = || <math>e</math> || (дефиницијаdefinicija инверзаinverza)
|}
:I slično za drugi smer.
:И слично за други смер.
== ВидиVidi јошjoš ==
*[[ГрупоидGrupoid]]
*[[МоноидMonoid]]
*[[ПолугрупаPolugrupa]]
*[[ПодгрупаPodgrupa]]
[[Kategorija:Teorija grupa]]
[[Категорија:Теорија група]]
[[Kategorija:Apstraktna algebra]]
[[Категорија:Апстрактна алгебра]]
{{Link FA|en}}
| 