|
| 25206 || 1,205703438... · 10<sup>100 000</sup>
|}
Faktorijel prvih nekoliko brojeva i faktorijel nekih većih brojeva
Факторијел првих неколико бројева и факторијел неких већих бројева
</div></div>
УU [[математикаmatematika|математициmatematici]], '''факторијелfaktorijel''' ненегативногnenegativnog цијелогcijelog бројаbroja <math>n</math> јеje производproizvod свихsvih позитивнихpozitivnih бројеваbrojeva мањихmanjih илиili једнакихjednakih <math>n</math>. НаNa примјерprimjer,
:<math>5 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \ </math>
:
:иi
:
:<math>6 ! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6= 720 \ </math>
гдјеgdje <math>n!</math> представљаpredstavlja n-факторијелfaktorijel.
ОзнакуOznaku <math>n!</math> јеje првиprvi увеоuveo [[КристијанKristijan КрампKramp]], [[1808]]. годинеgodine.
== ДефиницијаDefinicija ==
Faktorijel se formalno definiše na sljedeći način
Факторијел се формално дефинише на сљедећи начин
:<math> n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N}.\!</math>
Gornja definicija pretpostavlja da je:
Горња дефиниција претпоставља да је:
:<math>0! = 1 \ </math>
Ova definicija je korisna jer [[rekurzija|rekurzivna]] definicija faktorijela glasi
Ова дефиниција је корисна јер [[рекурзија|рекурзивна]] дефиниција факторијела гласи
:<math>(n + 1)! = n! (n + 1)</math>,
za šta je neophodno da faktorijel broja 0 bude 1.
за шта је неопходно да факторијел броја 0 буде 1.
== Kombinatorika ==
== Комбинаторика ==
Faktorijel je važan u [[kombinatorika|kombinatorici]]. Na primjer, postoji ukupno <math>n!</math> različitih načina da se rasporedi <math>n</math> različitih objekata (ovi različiti načini rasporeda se zovu ''permutacije''). Broj načina na koji se može izvući <math>k</math> objekata iz skupa od <math>n</math> objekata (broj ''kombinacija''), je dat takozvanim [[binomni koeficijent|binomnim koeficijentom]]:
Факторијел је важан у [[комбинаторика|комбинаторици]]. На примјер, постоји укупно <math>n!</math> различитих начина да се распореди <math>n</math> различитих објеката (ови различити начини распореда се зову ''пермутације''). Број начина на који се може извући <math>k</math> објеката из скупа од <math>n</math> објеката (број ''комбинација''), је дат такозваним [[биномни коефицијент|биномним коефицијентом]]:
<math>{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}</math>
[[Kategorija:== Teorija brojeva | ]]==▼== Теорија бројева ==
ФакторијелFaktorijel сеse многоmnogo користиkoristi уu [[теоријаteorija бројеваbrojeva|теоријиteoriji бројеваbrojeva]]. КонкретноKonkretno, <math>n!</math> јеje увијекuvijek дјељивdjeljiv свимsvim простимprostim бројевимаbrojevima доdo иi укључујућиuključujući <math>n</math>. ПосљедичноPosljedično, <math>n > 5</math> јеje композитанkompozitan бројbroj акоako иi самоsamo акоako
:<math>(n-1)!\ \equiv\ 0 \ ({\rm mod}\ n)</math>.
Štaviše, imamo [[Vilson]]ovu teoremu koja tvrdi
Штавише, имамо [[Вилсон]]ову теорему која тврди
:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1 \ ({\rm mod}\ p)</math>
акоako иi самоsamo акоako јеje <math>p</math> простprost бројbroj.
ЈединиJedini факторијелfaktorijel бројаbroja аa којиkoji јеje истовременоistovremeno иi [[простprost бројbroj]] јеje бројbroj 2, алиali имаima многоmnogo простихprostih бројеваbrojeva обликаoblika <math>n! \pm 1</math>.
== ДвострукиDvostruki факторијелfaktorijel n!! ==
<math>n!!</math> нијеnije једнакоjednako <math>(n!)!</math>
:<math>
*9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945
== Brzina rasta funkcije ==
== Брзина раста функције ==
[[СликаDatoteka:Log-factorial.svg|300п300px|миниthumb|десноright|ГрафикGrafik природногprirodnog логаритмаlogaritma факторијелаfaktorijela]]
КакоKako <math>n</math> растеraste, факторијелfaktorijel <math>n!</math> постајеpostaje већиveći одod свихsvih полиномијалнихpolinomijalnih иi експоненцијалнихeksponencijalnih функцијаfunkcija одod <math>n</math>.
КадKad јеje <math>n</math> великоveliko, <math>n!</math> сеse процјењујеprocjenjuje саsa великомvelikom прецизношћуpreciznošću користећиkoristeći [[СтирлингStirling]]овуovu апроксимацијуaproksimaciju:
:<math>n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
[[Logaritam]] faktorijela se može iskoristiti da bi se izračunalo koliko će cifara u datom brojnom sistemu imati faktorijel zadatog broja. <math>log(n!)</math> se može lako izračunati na sljedeći način:
[[Логаритам]] факторијела се може искористити да би се израчунало колико ће цифара у датом бројном систему имати факторијел задатог броја. <math>log(n!)</math> се може лако израчунати на сљедећи начин:
:<math>\sum_{k=1}^n{\log k}.</math>
ТребаTreba обратитиobratiti пажњуpažnju даda оваova функцијаfunkcija, кадkad јојjoj сеse нацртаnacrta графикgrafik, изгледаizgleda приближноpribližno линеарнаlinearna, заza малеmale вриједностиvrijednosti; алиali факторfaktor <math>{\log n!} \over n</math> растеraste доdo приличноprilično великихvelikih вриједностиvrijednosti, премдаpremda јакоjako спороsporo. [[ГрафикGrafik]] <math>log(n!)</math> заza <math>n</math> измеђуizmeđu 0 иi 20,000 јеje приказанprikazan десноdesno.
== Izračunavanje ==
== Израчунавање ==
Vrijednost <math>n!</math> se može izračunati [[množenje]]m svih prirodnih brojeva do <math>n</math>, ako <math>n</math> nije veliko. Najveći broj za kojeg većina [[kalkulator]]a može izračunati vrijednost je <math>69!</math>, jer je <math>70! > 10^{100}</math>. <math>11!</math> i <math>20!</math> su, tim redom, najveći brojevi čiji faktorijel može da stane u standardne cjelobrojne [[promjenljiva (programiranje)|promjenljive]] kod tridesetdvobitnih i šezdesetčetvorobitnih računara. U praksi, većina programa računa ove male brojeve direktnim množenjem ili vađenjem rezultata iz tabele. Faktorijeli većih brojeva se računaju obično aproksimacijom, koristeći Stirlingovu formulu.
Вриједност <math>n!</math> се може израчунати [[множење]]м свих природних бројева до <math>n</math>, ако <math>n</math> није велико. Највећи број за којег већина [[калкулатор]]а може израчунати вриједност је <math>69!</math>, јер је <math>70! > 10^{100}</math>. <math>11!</math> и <math>20!</math> су, тим редом, највећи бројеви чији факторијел може да стане у стандардне цјелобројне [[промјенљива (програмирање)|промјенљиве]] код тридесетдвобитних и шездесетчетворобитних рачунара. У пракси, већина програма рачуна ове мале бројеве директним множењем или вађењем резултата из табеле. Факторијели већих бројева се рачунају обично апроксимацијом, користећи Стирлингову формулу.
U teoriji brojeva i kombinatorici, često su potrebne tačne vrijednosti faktorijela velikih brojeva. Faktorijeli velikih brojeva se mogu izračunati direktnih množenjem, ali množenje redom <math>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n</math> odozdo nagore je neefikasno; bolje je rekurzijom podijeliti sekvencu tako da je veličina svakog potproizvoda manja.
У теорији бројева и комбинаторици, често су потребне тачне вриједности факторијела великих бројева. Факторијели великих бројева се могу израчунати директних множењем, али множење редом <math>1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n</math> одоздо нагоре је неефикасно; боље је рекурзијом подијелити секвенцу тако да је величина сваког потпроизвода мања.
== ВидиVidi јошjoš ==
* [[ГамаGama функцијаfunkcija]]
* [[Levi faktorijel]]
* [[Леви факторијел]]
[[Kategorija:Funkcije i preslikavanja]]
[[Категорија:Функције и пресликавања]]
[[Kategorija: MatematičkeMatematička teorijenotacija]] ▼[[Категорија:Математичка нотација]]
[[Kategorija: MatematikaKombinatorika]] ▼[[Категорија:Комбинаторика]]
[[Kategorija:Teorija brojeva]]
[[Категорија:Теорија бројева]]
▲[[Kategorija:Matematika]]
▲[[Kategorija:Matematičke teorije]]
▲[[Kategorija:Teorija brojeva| ]]
[[ar:عاملي]]
| 