Podgrupa – razlika između verzija
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
Nova stranica: У теорији група, за дату групу ''-{G}-'' у односу на [[бинарна операц... |
m r2.7.2) (robot Dodaje: sr:Подгрупа (математика); kozmetičke promjene |
||
Red 1:
У [[теорија група|теорији група]], за дату [[група (математика)|групу]] ''-{G}-'' у односу на [[бинарна операција|бинарну операцију]] *, кажемо да је неки [[подскуп]] ''-{H}-'' од ''-{G}-'' '''подгрупа''' од ''-{G}-'' ако ''-{H}-'' такође гради групу у односу на операцију *. Прецизније, ''-{H}-'' је подгрупа ''-{G}-'' ако је рестрикција * на ''-{H}-'' операција групе на ''-{H}-''.
'''Права погрупа''' групе ''-{G}-'' је подгрупа ''-{H}-'', која је [[подскуп|прави подскуп]] од ''-{G}-'' (т. ј. -{''H''
Исте дефиниције важе у општијем облику када је ''-{G}-'' произвољна [[полугрупа]], али овај чланак се бави само подгрупама група. Група ''-{G}-'' се понекад означава [[уређени пар|уређеним паром]] (''-{G}-'',*), обично да нагласи операцију * када ''-{G}-'' носи више алгебарских или других структура.
Red 8:
== Основна својства подгрупа ==
* ''-{H}-'' је подгрупа групе ''-{G}-'' [[ако и само ако]] је непразна и затворена за производ и инверзе. (Затвореност значи следеће: кад год су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' унутар ''-{H}-'', тада је и ''-{ab}-'' и ''-{a}-''<sup>
* Горњи услов се може изрећи у терминима [[хомоморфизам|хомоморфизама]]; то јест, ''-{H}-'' је подгрупа групе ''-{G}-'' ако и само ако је ''-{H}-'' подскуп од ''-{G}-'' и постоји инклузиони хомоморфизам (т. ј., -{i(''a'') = ''a''}- за свако ''-{a}-'') из ''-{H}-'' у ''-{G}-''.
* Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је ''-{G}-'' група са неутралом -{''e''<sub>''G''</sub>}-, и ''-{H}-'' је подгрупа од ''-{G}-'' са неутралом -{''e''<sub>''H''</sub>}-, тада је -{''e''<sub>''H''</sub> = ''e''<sub>''G''</sub>}-.
* Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је ''-{H}-'' подгрупа од ''-{G}-'', и ''-{a}-'' и ''-{b}-'' су елементи из ''-{H}-'', такви да -{''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''H''</sub>}-, тада -{''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''G''</sub>}-.
* Пресек подгрупа ''-{A}-'' и ''-{B}-'' групе ''-{G}-'' је такође подгрупа. Унија ''-{A}-'' и ''-{B}-'' је подгрупа ако и само ако или ''-{A}-'' садржи ''-{B}-'' или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији -{2Z}- и -{3Z}- али њихова сума 5 није.
* Ако је ''-{S}-'' подскуп од ''-{G}-'', тада постоји минимална подгрупа која садржи ''-{S}-'', која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже ''-{S}-''; ово се означава са -{<''S''>}- и назива се подгрупом генерисаном са ''-{S}-''. Елемент из ''-{G}-'' је унутар -{<''S''>}- ако и само ако је коначан производ елемената ''-{S}-'' и њихових инверза.
* Сваки елемент ''-{a}-'' из групе ''-{G}-'' одређује (генерише) цикличну подгрупу -{<''a''>}-. Ако је -{<''a''>}- изоморфно са -{'''Z'''/''n'''''Z'''}- за неки позитиван цео број ''-{n}-'', онда је ''-{n}-'' најмањи позитиван цео број за који -{''a''<sup>''n''</sup> = ''e''}-, и ''-{n}-'' се назива ''редом'' од ''-{a}-''. Ако је -{<''a''>}- изоморфно са '''-{Z}-''', тада се каже да је ''-{a}-'' ''бесконачног реда''.
== Пример ==
Red 59:
== Косети и Лагранжова теорема ==
Ако је дата подгрупа ''-{H}-'' и неко ''-{a}-'' из -{G}-, дефинишемо '''леви [[косет]]''' -{''aH'' = {''ah'' : ''h''}- из ''-{H}-''}. Како је ''-{a}-'' инверзибилно, пресликавање -{
[[Лагранжова теорема (теорија група)|Лагранжова теорема]] гласи да за коначну групу ''-{G}-'' и њену подгрупу ''-{H}-'',
Red 65:
где -{red(''G'')}- и -{red(''H'')}- означавају [[ред (теорија група)|редове]] од ''-{G}-'' и ''-{H}-''. Ред сваке подгрупе од ''-{G}-'' (и ред сваког елемента ''-{G}-'') обавезно дели -{red(''G'')}-.
'''Десни косети''' су дефинисани аналогно: -{''Ha'' = {''ha'' : ''h''}- у ''-{H}-''}. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак -{[''G'' : ''H'']}-.
Ако је -{''aH'' = ''Ha''}- за свако ''-{a}-'' из ''-{G}-'', тада се каже да је ''-{H}-'' [[нормална подгрупа]]. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.
Red 78:
[[en:Subgroup]]
[[es:Subgrupo]]
[[fi:Aliryhmä]]▼
[[fr:Sous-groupe]]
[[hr:Podgrupa]]
Linija 87 ⟶ 88:
[[pt:Subgrupo]]
[[ru:Подгруппа]]
[[sr:Подгрупа (математика)]]
▲[[fi:Aliryhmä]]
[[sv:Delgrupp]]
[[vi:Nhóm con]]▼
[[tr:Altöbek]]
[[uk:Підгрупа]]
▲[[vi:Nhóm con]]
[[zh:子群]]
|