Podgrupa – razlika između verzija

'''Права погрупа''' групе ''-{G}-'' је подгрупа ''-{H}-'', која је [[подскуп|прави подскуп]] од ''-{G}-'' (т. ј. -{''H'' ≠≠ ''G''}-). '''Тривијална подгрупа''' било које групе је подгрупа {''-{e}-''} која се састоји само од неутрала. Ако је ''-{H}-'' подгрупа од ''-{G}-'', понекад се каже да је ''-{G}-'' ''надгрупа'' од ''-{H}-''.

* ''-{H}-'' је подгрупа групе ''-{G}-'' [[ако и само ако]] је непразна и затворена за производ и инверзе. (Затвореност значи следеће: кад год су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' унутар ''-{H}-'', тада је и ''-{ab}-'' и ''-{a}-''^−1−1 су такође унутар ''-{H}-''. Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' унутар ''-{H}-'', тада је и ''-{ab}-''^−1−1 унутар ''-{H}-''.) У случају када је ''-{H}-'' коначно, тада је ''-{H}-'' подгрупа ако и само ако је ''-{H}-'' затворено у односу на производе. (У овом случају, сваки елемент ''-{a}-'' из ''-{H}-'' генерише коначну [[циклична група|цикличну подгрупу]] од ''-{H}-'', и инверз од ''-{a}-'' је тада ''-{a}-''^−1−1 = -{''a''^{''n'' −− 1}}-, где је ''-{n}-'' ред од ''-{a}-''.

* Горњи услов се може изрећи у терминима [[хомоморфизам|хомоморфизама]]; то јест, ''-{H}-'' је подгрупа групе ''-{G}-'' ако и само ако је ''-{H}-'' подскуп од ''-{G}-'' и постоји инклузиони хомоморфизам (т. ј., -{i(''a'') = ''a''}- за свако ''-{a}-'') из ''-{H}-'' у ''-{G}-''.

* Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је ''-{G}-'' група са неутралом -{''e''_''G''}-, и ''-{H}-'' је подгрупа од ''-{G}-'' са неутралом -{''e''_''H''}-, тада је -{''e''_''H'' = ''e''_''G''}-.

* Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је ''-{H}-'' подгрупа од ''-{G}-'', и ''-{a}-'' и ''-{b}-'' су елементи из ''-{H}-'', такви да -{''ab'' = ''ba'' = ''e''_''H''}-, тада -{''ab'' = ''ba'' = ''e''_''G''}-.

* Пресек подгрупа ''-{A}-'' и ''-{B}-'' групе ''-{G}-'' је такође подгрупа. Унија ''-{A}-'' и ''-{B}-'' је подгрупа ако и само ако или ''-{A}-'' садржи ''-{B}-'' или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији -{2Z}- и -{3Z}- али њихова сума 5 није.

* Ако је ''-{S}-'' подскуп од ''-{G}-'', тада постоји минимална подгрупа која садржи ''-{S}-'', која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже ''-{S}-''; ово се означава са -{<''S''>}- и назива се подгрупом генерисаном са ''-{S}-''. Елемент из ''-{G}-'' је унутар -{<''S''>}- ако и само ако је коначан производ елемената ''-{S}-'' и њихових инверза.

* Сваки елемент ''-{a}-'' из групе ''-{G}-'' одређује (генерише) цикличну подгрупу -{<''a''>}-. Ако је -{<''a''>}- изоморфно са -{'''Z'''/''n'''''Z'''}- за неки позитиван цео број ''-{n}-'', онда је ''-{n}-'' најмањи позитиван цео број за који -{''a''^''n'' = ''e''}-, и ''-{n}-'' се назива ''редом'' од ''-{a}-''. Ако је -{<''a''>}- изоморфно са '''-{Z}-''', тада се каже да је ''-{a}-'' ''бесконачног реда''.

Ако је дата подгрупа ''-{H}-'' и неко ''-{a}-'' из -{G}-, дефинишемо '''леви [[косет]]''' -{''aH'' = {''ah'' : ''h''}- из ''-{H}-''}. Како је ''-{a}-'' инверзибилно, пресликавање -{&phi;φ : ''H'' &rarr;→ ''aH''}- дефинисано као -{&phi;φ(''h'') = ''ah''}- је [[бијекција]]. Штавише, сваки елемент из ''-{G}-'' се налази у тачно једном левом косету од ''-{H}-''; леви косети су класе еквиваленције у односу на [[релација еквиваленције|релацију еквиваленције]] -{''a''₁ ~ ''a''₂}- [[ако и само ако]] је -{''a''₁^&minus;1−1''a''₂}- у ''-{H}-''. Број левих косета ''-{H}-'' се назива ''индексом'' ''-{H}-'' у ''-{G}-'', и означава се са -{[''G'' : ''H'']}-.

'''Десни косети''' су дефинисани аналогно: -{''Ha'' = {''ha'' : ''h''}- у ''-{H}-''}. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак -{[''G'' : ''H'']}-.