Kvadratna jednačina – razlika između verzija
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m r2.7.1) (robot Dodaje: bs:Kvadratna jednačina |
m robot Dodaje: nap:Equazione quadratica; kozmetičke promjene |
||
Red 3:
:<math>ax^2+bx+c=0,\,\!</math>
gde ''a'' ≠ 0.
Slova ''a'', ''b'', i ''c'' se nazivaju [[koeficijent]]ima: kvadratni koeficijent ''a'' je koeficijent uz ''x''<sup>2</sup>, linearni koeficijent ''b'' je koeficijent uz ''x'', a ''c'' je [[konstanta|konstantni]] koeficijent.
Red 27:
== Diskriminanta ==
[[Datoteka:Quadratic equation discriminant.png|thumb|right|Primeri različitih znakova diskriminante<br
/><span style="color:#fec200">■</span> <0: ''x''<sup>2</sup>+<sup>1</sup>
/><span style="color:#bc1e47">■</span> =0: −<sup>4</sup>
/><span style="color:#0081cd">■</span> >0: <sup>3</sup>
U gornjoj formuli, izraz ispod kvadratnog korena:
:<math>\Delta = b^2 - 4ac , \,\!</math>
se naziva ''[[diskriminanta|diskriminantom]]'' kvadratne jednačine.
Kvadratna jednačina sa ''realnim'' koeficijentima može imati jedan ili dva različita realna korena, ili dva različita kompleksna korena. U ovom slučaju, diskriminanta određuje broj i prirodu korena. Postoje tri slučaja:
* Ako je diskriminanta pozitivna, postoje dva različita korena, oba realna. Kod kvadratnih jednačina sa [[ceo broj|celobrojnim]] koeficijentima, ako je diskriminanta ''[[savršen kvadrat]]'', onda su koreni [[racionalan broj|racionalni brojevi]], dok u ostalim slučajevima mogu biti iracionalni.
* Ako je diskriminanta jednaka nuli, postoji tačno jedan koren, i taj koren je [[realan broj]]. On se nekada naziva dvostrukim korenom, a njegova vrednost je:
*: <math>x = -\frac{b}{2a} . \,\!</math>
* Ako je diskriminanta negativna, nema realnih korena. Umesto njih postoje dva različita (ne realna) [[kompleksan broj|kompleksna]] korena, koji su [[kompleksni konjugat]]i jedan drugog:
*: <math>\begin{align}
x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} , \\
x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} , \\
Red 48:
== Geometrija ==
[[Datoteka:Polynomialdeg2.png|thumb|right|200px|Za [[kvadratna funkcija|kvadratnu funkciju]]: <br /> <font size="2"> ''f'' </font>(''x'') = ''x''<sup>2</sup>
Koreni kvadratne jednačine
Red 106:
:<math> x+y=p,\ \ xy=q \ </math>
što je ekvivalentno jednačini:<ref> Stillwell, John.
:<math>\ x^2+q=px </math>
Red 112:
Početni par jednačina je rešavan na sledeći način:
# oblik <math>\frac{x+y}{2}</math>
# oblik <math> \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 </math>
# oblik <math> \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 - xy </math>
# oblik <math> \sqrt{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2 - xy} = \frac{x-y}{2} </math>
# Zatim se nađe <math>x,\ y</math> pomoću vrednosti iz (1) i (4).<ref name=stillwell-p87> Stillwell, John.
U spisima [[Šulba sultras]] iz stare Indije, oko [[8. vek pne.|8. veka pne.]], kvadratne jednačine oblika ''ax''<sup>2</sup> = ''c'' i ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' = ''c'' su ispitivane korišćenjem geometrijskih metoda. [[Vavilonska matematika|Vavilonski matematičari]] oko [[400. pne.]] i [[Kineska matematika|kineski matematičari]] oko [[200. pne.]] su koristili metod dopune do kvadrata za rešavanje kvadratnih jednačina sa pozitivnim korenima, ali nisu imali opštu formulu. [[Euklid]], grčki matematičar je našao apstraktniji geometrijski metod oko [[300. pne.]]
Red 131:
''[[Bakšali rukopis]]'' iz Indije, datiran u 7. vek je sadržavao algebarsku formulu za rešavanje kvadratnih jednačina. [[Muhamed Al Horezmi]] ([[Persija]], [[9. vek]]) je razvio skup formula koje su radile za pozitivna rešenja.
Spisi kineskog matematičara [[Jang Hui]]ja ([[1238]]. - [[1298]].) su prvi u kojima se pojavljuju kvadratne jednačine sa negativnim koeficijentima od 'x', mada on ovo pripisuje Liu Jiu.
Red 189:
[[ml:ദ്വിമാന സമവാക്യം]]
[[ms:Persamaan kuadratik]]
[[nap:Equazione quadratica]]
[[nl:Vierkantsvergelijking]]
[[no:Andregradsligning]]
| |||