Razlike između izmjena na stranici "Vektor"

Dodana 93 bajta ,  prije 8 godina
m
robot kozmetičke promjene
(ažuriranje sadržajem s hr.wiki)
m (robot kozmetičke promjene)
{{dz}}
U elementarnoj [[Matematika|matematici]] i [[Fizika|fizici]], a napose u [[Tehnika|tehničkim primjenama]], '''vektor''' najčešće označava veličinu koja ima iznos i smjer, te zadovoljava pravila vektorskog računa. Taj se opis odnosi na veličine u trodimenzionalnom prostoru iz našeg svakodnevnog iskustva, koji u matematici najbolje opisuje tzv. [[Euklidski prostor]]. Vektori su uvedeni kao složenije veličine od [[skalar]]a; skalari su u nevedenom kontekstu veličine koje imaju samo brojčanu vrijednost koja može biti pozitivna, 0 ili negativna, tj. opisuju se jednim realnim brojem. Za opis vektora u trodimenzionalnom prostoru potrebna su tri realna broja - npr. jedan za iznos i dva za smjer (kutovi), ili tri skalarne komponente u koordinatnom sustavu. Još složenije veličine od vektora su [[tenzor]]i, preciznije tenzori drugoga reda i viših redova, koji se u trodimenzionalnom prostoru opisuju sa 9, 27 ili više brojeva. U tenzorskom opisu, skalari su tenzori nultoga reda, a vektori su tenzori prvoga reda.
 
Formalno i općenito, međutim, pojam vektora se u matematici, pa i fizici, i u drugim primjenama, definira znatno apstraktnije. Pristup se najčešće temelji na definiciji [[Vektorski prostor|vektorskog prostora]] iz [[Linearna algebra|linearne algebre]] gdje se koriste višedimenzionalni (pa i beskonačno dimenzionalni) prostori nad [[Polje|poljem]] realnih ili kompleksnih skalara. Ipak, i u te opće definicije ugrađene su analogije s gore navedenim slučajem iz "običnog" trodimenzionalnog prostora. Veći dio ovoga članka ukratko izlaže jedan od mogućih "matematičkih" opisa u prostoru od ''n'' dimenzija, no mnogi su rezulatati izravno primjenjljivi na "obične" trodimenzionalne vektore.
No, prilikom različitih matematičkih operacija sa silama i vektorima položaja (zbrajanje itd.), a kod većine drugih vektorskih veličina već i u samom prikazu, svejedno je gdje se pozicionira usmjerena dužina koja ih predstavlja: važan je samo iznos i smjer. To je svojstvo "slobodnih" ili "pravih" vektora: ako se usmjerena dužina paraleno premjesti u prostoru, ona i dalje predstavlja isti vektor.
 
=== Zbrajanje vektora ===
[[Datoteka:Vecteurs_somme.png|lijevo|mini|200px|Zbrajanje dvaju vektora]]
[[Datoteka:Som drie vectoren.png|desno|mini|160px|Zbroj tri vektora]]
[[Datoteka:Vector multiplied by scalars.JPG|desno|mini|200px|Množenje vektora skalarom]]
 
=== Množenje vektora skalarom; suprotni vektor ===
Množenje vektora sa skalarom (brojem) je jednostavan postupak koji se intuitivno tumači na temelju zbrajanja vektora sa samim sobom: <math>\scriptstyle \vec v + \vec v = 2 \vec v </math> (taj rezultat se dobiva nadovezivanjem vektora na samoga sebe). Odatle se lako razumije poopćenje: kod množenje sa skalarom, množi se samo iznos vektora s apsolutnom vrijednošću skalara, a rezultat je vektor istoga smjera ako je skalar pozitivan, odnosno vektor suprotnog smjera ako je skalar negativan (skica desno). Specijalno, ''suprotni vektor'' od <math>\scriptstyle \vec v </math> (vektor jednakog iznosa ali suprotnog smjera) je vektor <math>\scriptstyle - \vec v </math> koji se dobije množenjem vektora <math>\scriptstyle \vec v </math> sa skalarom -1.
 
=== Oduzimanje vektora ===
[[Datoteka:矢量減法.svg|lijevo|mini|130px|Oduzimanje vektora]]
Oduzimanje vektora <math>\scriptstyle \vec b </math> od vektora <math>\scriptstyle \vec a </math> isto je što i dodavanje suprotnog vektora, tj. <math>\scriptstyle \vec a - \vec b = \vec a +(- \vec b)</math>. Takav postupak grafički je prikazan niže u "matematičkom" dijelu teksta.
Nije teško dokazati da usmjerena dužina <math>\scriptstyle \vec a - \vec b </math> doista jest tražena razlika: treba samo prinijeniti pravilo o zbrajanju vektora na prikazanu skicu. Skica se može interpretirati kao da prikazuje zbrajanje vektora <math>\scriptstyle \vec b + (\vec a - \vec b) </math>, čiji rezultat očito mora biti (kad se makne zgrada) jednak vektoru <math>\scriptstyle \vec a </math>, kao što crtež i pokazuje.
 
=== Komponente vektora ===
[[Datoteka:Vector components.JPG|desno|mini|300px|Rastav vektora na komponente u koordinatnom sustavu u ravnini]]
Za mnoge primjene korisno je rastaviti vektorske veličine na komponente u koordinatnom sustavu. Na skici desno prikazan je rastav sile <math>\scriptstyle \vec F </math> u Kartezijevom sustavu ''x,y'' na dvije komponente. Njezine '''vektorske komponente''' su vektori paraleni s koordinatnim osima, <math>\scriptstyle \vec F_x </math> i <math>\scriptstyle \vec F_y </math>, tako da je:
 
Iz tako zadanih skalarnih komponenti, iznos <math>\scriptstyle F </math> vektora <math>\scriptstyle \vec F </math> lako se izračuna pomoću Pitagorinog poučka
:<math> F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}</math><br /><br />
 
a smjer se u ravnini ''x,y'' opisuje pomoću kuta prema jednoj od koordinatnih osi. Na skici je označen kut prema osi ''x'', na način uobičajen u tehničkoj praksi (za razliku od matematike), kao neorijentirani kut <math>\scriptstyle \alpha </math> manji od 90°. Taj se kut može odrediti pomoću tangensa omjera skalarnih komponenti.
Prikaz vektora pomoću skalarnih komponenti u našem "običnom" prostoru značajno olakšava računanje. Vektori su jednaki ako su im jednake odgovarajuće skalarne komponente. Vektori se zbrajaju ili oduzimaju tako da se zbroje ili oduzmu njihove odgovarajuće skalarne komponente. I druge operacije među vektorima izražavaju se preko skalarnih komponenata, a različite jednadžbe među vektorima preslikavaju se u jednadžbe među njihovim skalarnim komponentama.
 
=== Međusobno množenje vektora ===
U našem običnom prostoru, dva se vektora mogu međusobno množiti na dva načina, koji su se razvili ponajprije za potrebe jednostavnijeg zapisa odnosa među vektorskim veličinama u fizici, napose u mehanici.
 
== Operacije nad vektorima ==
 
Nad vektorima se, kao i svim ostalim elementima analitičke matematike, mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju ''K''. Na primjer:<br /><br />
 
:<math>a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n), \; a_i \in K</math>, <math>i = 1, ... ,n</math><br /><br />
 
je jedan ''n''-dimenzionalni vektor nad poljem ''K''. Pojam ''n''-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definiran pomoću ''n'' skalara. Prostor ovih vektora se još naziva ''K<sup>n</sup>'', a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj ''n''-torci koordinate vektora. Na primjer, ''a<sub>1</sub>'' je prva koordinata vektora, ''a<sub>2</sub>'' je druga koordinata vektora itd.
 
=== Intenzitet vektora ===
Intenzitet vektora se u euklidskoj geometriji definira kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata.<br /><br />
 
:<math>\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n</math><br />
:<math>|a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}</math><br /><br />
 
=== Množenje vektora skalarom ===
Množenje vektora <math>\overrightarrow{a} \in K^n</math> nekim skalarom <math>\alpha \in K</math> je definirano kao množenje svake koordinate vektora tim skalarom. Ova je operacija [[komutativnost|komutativna]].<br /><br />
 
:<math>\alpha \cdot \overrightarrow{a}</math> = <math>\alpha \cdot (a_1,a_2,a_3,...,a_n)</math> = :<math>(\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2,...,\alpha \cdot a_n).</math>
 
Uzmimo dva vektora <math>a, b \in K^n\,</math>:
<br /><br />
:<math>\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)</math><br />
:<math>\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)</math><br /><br />
 
Njihovo se zbrajanje u principu definira kao zbrajanje komponenti sa istim indeksima.
<br /><br />
:<math>+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,</math><br />
:<math>\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}</math>, <br />
:<math>c_i = a_i + b_i\,</math>, gde je <math>i=1,...,n\,</math><br /><br />
 
Pri ćemu će vektor ''c'' biti iz prostora <math>K^n\,</math>. '''Oduzimanje''' vektora bi se vršilo po sličnom principu:<br /><br />
 
:<math>\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})</math><br /><br />
 
Pri čemu <math>-\overrightarrow{b} = (-b_1,-b_2,...,-b_n)</math>.
=== Skalarno množenje vektora ===
Slično zbrajanju, skalarno se množenje vektora definira kao broj umnoška svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj se zbroj i umnožak preuzimaju iz polja ''K''. Razlika u odnosu na zbrajanje je ta što je rezultat skalarnog produkta dva vektora iz ''K<sup>n</sup>'' u stvari jedan skalar iz ''K''. Konkretno za dva vektora ''a'' i ''b'' iz ''K<sup>n</sup>'' bi umnožak ''k'' izgledao ovako:
:<math>\cdot : (K^n,K^n) \rightarrow K</math><br />
:<math>k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}</math>, <math>k \in K</math><br />
:<math>k = \sum_{i=1}^n {a_i \cdot b_i}</math>, gdje je <math>i=1,...,n</math>
 
:<math>k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |a|\cdot|b| \cdot \cos \omega, </math>
 
pri čemu je ''ω'' kut između ''a'' i ''b''.<br /><br />
Ovo zapravo znači i:
:<math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}</math><br /><br />
 
To jest da su dva vektora okomiti ako im je skalarni produkt jednak nuli.
 
Još jedan tip umnoška karakterističan za trodimenzionalne euklidske prostore (''E<sup>3</sup>'') je '''vektorski produkt'''. Definira se na sljedeći način:
:<math>\times : (E^3,E^3) \rightarrow E^3\,</math><br /><br />
:<math>\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3</math><br />
:<math>\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =</math>
:<math>\overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)=</math> <math>\begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}</math><br /><br />
Jer su <math>\overrightarrow{i}=(1,0,0)</math>, <math>\overrightarrow{j}=(0,1,0)</math> i :<math>\overrightarrow{k}=(0,0,1)</math> vektori kanonske baze ''E<sup>3</sup>''.
 
Kod vektorskog je produkta bitno primjetiti sljedeće osobine:
 
:<math>\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}</math>, tj. vektorski produkt dva vektora je okomit na njih same.<br />
:<math>|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|\sin \omega</math>, gdje je :<math>\omega</math> kut između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.<br />
:<math>\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})</math>, tj. vektorski produkt nije [[komutativnost|komutativan]].<br />
:<math>(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b} = \alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})</math>, gdje je <math>\alpha \in E</math>. Tj. vektorski produkt se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.