Težište – razlika između verzija

U ovome članku detaljnije se razmatra samo težište materijalnog tijela u gravitacijskom polju blizu površine Zemlje. Također, osim za materijalna tijela, uobičajeno je (u [[Srpskohrvatski jezik|srpskohrvatskom jeziku]]) pojam težišta definirati i kod nematerijalnih geometrijskih objekata (geometrijskih tijela, likova i linijia). U nekim drugim jezicima isti se pojam naziva centrom masa. Jasno je da je takva upotreba spomenutih termina metaforička, jer geometrijski objekti nemaju ni mase ni težine, ali je opravdana zbog analogija s homogenim materijalnim objektima. No, neki tekstovi umjesto toga koriste naziv ''centroid''.

 

'''Težište materijalnog tijela''' je točka T koja je hvatište ukupne težine tijela (rezultante težina svih čestica od kojih se tijelo sastoji). Za tijelo od N čestica ta točka T, opisana vektorom položaja <math>\scriptstyle \vec{r}_{T}</math> , mora zadovoljiti jednadžbu koja zahtijeva da [[moment sile|moment]] ukupne težine bude jednak zbroju momenata težina pojedinih čestica:

 

Pojedina čestica označena je simbolom "i" (i=1, 2, ... N). Njezina masa je <math>\scriptstyle m_i</math> , njezin vektor položaja je <math>\scriptstyle \vec{r}_{i}</math> , a njezina težina <math>\scriptstyle \vec{G}_{i} = m_i \vec{g}_{i}</math> računa se kao umnožak njezine mase i gravitacijskog polja <math>\scriptstyle \vec{g}_{i}</math> na mjestu gdje se čestica nalazi.

Ovdje se razmatra težište materijalnog tijela samo u homogenom gravitacijskom polju, te u približno homogenom polju blizu površine Zemlje.

 

U ogromnoj većini praktičnih primjena može se smatrati da je gravitacijsko polje u blizini Zemlje posve [[homogenost|homogeno]] na malim udaljenostima, tj. da u svakoj točki promatranog tijela polje ima isti iznos i smjer. Uz tu pretpostavku, težište T materijalnog tijela nalazi se u istoj točki kao i [[centar masa]] tijela, pa se može računati npr. po formuli

 

kao i po drugim formulama za određivanje centra masa tijela. Dokaz ove tvrdnje je jednostavan: u jednadžbi za momente treba samo zamijeniti različite vrijednosti gravitacijskog polja <math>\scriptstyle \vec{g}_{i}</math> s konstantnim vektorom <math>\scriptstyle \vec g</math> koji se može izlučiti iz sume tako da se dobije

gdje je <math>\scriptstyle m_i</math> masa pojedinog dijela tijela, a y-koordinata težišta toga dijela je <math>\scriptstyle y_i</math> .

 

Stvarno Zemljino gravitacijsko polje nije homogeno: iznos mu opada s kvadratom udaljenosti od središta Zemlje, i usmjereno je prema središtu Zemlje. No, odstupanja od homogenosti vrlo su mala na manjim udaljenostima: blizu površine Zemlje jakost polja umanjuje se samo za oko 0,03% po jednom kilometru vertikalnog uspona, a smjerovi polja na horizontalnoj udaljenosti od 1 km zatvaraju kut od samo 0,009 stupnjeva. Zato se za objekte manjih dimenzija (nekoliko metara) može pretostaviti potpuna homogenost gravitacijskog polja, jer će npr. i neznatno trenje posve prikriti činjenicu da se položaj težišta može razlikovati od centra masa za koji djelić milimetra.

 

No, ako se promotri isti štap u horizontalnom položaju, jasno je da težište više ne može biti bliže kraju A štapa: zbog simetričnosti gravitacijskog polja, ono mora biti jednako udaljeno od oba kraja štapa. I ne samo da se težište pomaklo u odnosu na štap, nego u modelu tankoga štapa za taj položaj više nije moguće uspostaviti indiferentnu ili stabilnu ravnotežu.

 

Budući da je blizu površine Zemlje odstupanje gravitacijskog polja od stroge paralelnosti manje značajno nego njegovo opadanje s visinom, neki autori <ref>Beatty, Millard F., Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion, Springer, Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering (2006)</ref> računaju (približni) položaj težišta na Zemlji pomoću prosječne visinske raspodjele težine uz pretpostavku da su težine svih čestica paralelne (pa se ne opisuju kao vektori, nego samo kao iznosi težina koji ovise o visini):

 

Za tanki homogeni štap u verikalnom položaju (iz gornjeg primjera) na ovaj se način dobije isti položaj težišta kao uravnoteživanjem momenata za infinitezimalni otklon od vertikale.

 

U engleskom jeziku za težište se koristi termin "centar gravitacije" (center of gravity). Sukladno takvom nazivu, težište ne mora označavati samo "točku u kojoj kao da je sadržana sva težina tijela koje se nalazi u vanjskom gravitacijskom polju", nego alternativno može označavati i "točku u kojoj kao da se nalazi izvor gravitacijskog polja koje tijelo proizvodi".

 

 

 

'''Težište geometrijskog tijela, lika ili linije''' je točka koja se označava simbolom T ili C (naziva se još i '''centar masa''' ili '''centroid'''), a računa se na isti način kao i [[centar masa]] [[homogenost|homogenog]] materijalnog tijela:

 

Integriranje po volumenu, plohi i liniji naznačeno je samo simbolički (slovima V, A te l).

gdje je <math>\scriptstyle A_i</math> površina pojedinog dijela, a y-koordinata njegovog težišta je <math>\scriptstyle y_i</math> .

 

Ovdje se opisuje položaj težišta za neke često korištene linije, plohe i geometrijska tijela.

 

[[Datoteka:teziste_kruznog_luka.png|thumb|Težište kružnog luka]]

:Težište je na polovici [[dužina|dužine]].

 

:<math>Y_c=r\cdot \frac {sin \alpha} {\hat {\alpha}}</math>

 

gdje je <math> \hat {\alpha}</math> polovica kuta sadržanoga ispod kružnog luka, a "kapa" nad simbolom označava da kut treba računati u [[radijan]]ima.

 

 

:Težište je na presjeku [[dijagonala]].

 

:<math>Y_c=\frac {h}{3}</math>

 

:<math>Y_c=\frac{2}{3} \cdot r \cdot \frac{sin \alpha}{\hat {\alpha}}</math>

 

gdje je <math> \hat {\alpha}</math> polovica kuta sadržanoga ispod kružnog luka, a "kapa" nad simbolom označava da kut treba računati u radijanima.

 

:<math>Y_c=\frac{2}{3}\cdot r \cdot \frac{sin^3\alpha}{\hat {\alpha}-sin\alpha \cdot cos\alpha}</math>

 

</gallery>

 

 

:Težište je u središtu.

 

:<math>Y_c=\frac{h}{4}</math>

 

:<math>Y_c=\frac{3}{8} \cdot r</math>

 

:<math>Y_c=\frac{3}{4} \cdot \frac{(2r-h)^2}{(3r-h)}</math>

 

:<math>Y_c=\frac {3}{8} \cdot (2r-h)</math>