Ravan – razlika između verzija

[[imageDatoteka:Flat Surface.svg|thumb|200px|Deo ravni u trodimenzionom prostoru, obeležen mrežom koordinata]]

[[imageDatoteka:PlaneIntersection.png|thumb|Presek dve ravni u R³]]

Ravan ''-{A}-'' u prostoru -{R}-ⁿ se analitički može opisati jednom njenom [[tačka (geometrija)|tačkom]] <math>P \in A \in R^n</math> i [[vektor|vektorom]]om <math>\overrightarrow{a}</math> koji je normalan na nju, tj. svaki vektor koji joj pripada. Tada će za svaku tačku <math>Q \in A</math> važiti:<br /><br />

<math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0</math>,<br /><br />iliti<br /><br /><math>\left ( a_1, \ldots ,a_n \right ) \cdot \left ( Q_1 - P_1, \ldots , Q_n - P_n \right ) = a_1 \cdot \left ( Q_1 - P_1 \right ) + \cdots + a_n \cdot \left ( Q_n - P_n \right ) = 0</math><br /><br />

Kako su <math>\overrightarrow{a}</math> i -{P}- konstante, izraz se može drugačije zapisati:<br /><br />

<math>\overrightarrow{a}\cdot \left ( Q - P\right ) \Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{Q} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{P} \Rightarrow</math><br /><math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{Q} = C, C \in R</math><br /><br />

ovo je takozvana '''vektorska jednačina ravni''' koja se nakon razvoja skalarnog proizvoda, kao što je u izrazu ispod prikazano, naziva '''opšta jednačina ravni''':<br /><br />

Ukoliko tačka ne pripada ravni, onda postoji tačno jedna prava koja prolazi kroz tu tačku, i normalna je na ravan. Ta prava seče ravan u tačno jednoj rački koja je u stvari '''projekcija''' prethodne tačke na datu ravan. Recimo da se ravan zove ''-{A}-'' i da je određena tačkom ''-{P}-'' i njenim normalnim vektorom <math>\overrightarrow{n}</math>. Neka je ''-{Q}-'' proizvoljna tačka istog prostora koja ne pripada ''-{A}-''. Tada za projekciju ''-{Q'}-'' tačke ''-{Q}-'' na ravan ''-{A}-'' važi sledeće:<br /><br />

<math>Q' \in A \wedge \overrightarrow{QQ'} \| \overrightarrow{n} \Rightarrow</math><br /><br />

<math>Q' = Q + \alpha \overrightarrow{n} \in A</math><br />

<math>\overrightarrow{PQ'} \overrightarrow{n} = 0</math><br /><br />

Ovime se dobija jednačina sa nepoznatom α.<br />

Nakon što se odredi vrednost α, tačka ''-{Q'}-'' je određena već datom jednačinom:<br />

Rastojanje neke [[tačka|tačke]] od ravni u -{R}-ⁿ je određeno njenim rastojanjem od [[Ravan#Projekcija tačke na ravan|njene projekcije]] na istu ravan. Vidi [[Tačka (geometrija)#Rastojanje između dve tačke|rastojanje tačaka]].<br /><br />

Ovo rastojanje se specijalno u -{R}-³, kada su poznate tri [[kolinearnost#nekolinearnost|nekolinearne]] tačke ravni ''-{S, W, T}-'', može izraziti i preko odnosa [[zapremina|zapremine]] i [[površina|površine]] baze [[prizma|prizme]] koju grade [[romboid]] određen sa ove tri tačke sa tačkom ''-{Q}-'': <br /><br />

Pretpostavimo da se prava ''-{p}-'' određena sa tačkom <math>P</math> i vektorom <math>\overrightarrow{v}</math>, i ravan ''-{A}-'' određena sa tačkom <math>Q</math> i normalnim vektorom <math>\overrightarrow{n}</math> seku. Njihova tačka preseka ''-{L}-'' bi bila određena sa:<br /><br />

<math>L = P + \alpha \overrightarrow{v}, \; L \in A</math><br /><br />

Kada se ovako dobijeni vektor koordinata tačke ''-{L}-'' ubaci u jednačinu ravni, dobije se jednačina sa jednom nepoznatom, α. Nakon što se α odredi, treba je vratiti u gornju jednačinu. Rezultat su koordinate tačke ''-{L}-''.<br /><br />

U -{R}-³ bi to izgledalo ovako:<br /><br />

<math>A: n_1 (x_1 - Q_1) + n_2 (x_2 - Q_2) + n_3 (x_3 - Q_3) = 0</math><br />

<math>L: (P_1+\alpha v_1,P_2 + \alpha v_2,P_3 + \alpha v_3)</math><br /><br />

<math>\Rightarrow n_1 (P_1+\alpha v_1 - Q_1) + n_2 (P_2 + \alpha v_2 - Q_2) + n_3 (P_3 + \alpha v_3 - Q_3) = 0</math><br />

<math>\overrightarrow{n} \cdot \left ( \overrightarrow{QP} + \alpha \overrightarrow{v} \right ) = 0</math><br /><br />

Odnos dve ravni, kao i njihov presek se daju odrediti rešavanjem sistema jednačina ove dve ravni. Pretpostavimo da su zadate dve ravni <math>A: P, \overrightarrow{a}</math> i <math>B: Q, \overrightarrow{b}</math><br /><br />

<math>A: x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_{n-1} a_{n-1} + P_n a_n = K_A, \; K_A \in R</math><br />

<math>B: x_1 b_1 + x_2 b_2 + \cdots + x_{n-1} b_{n-1} + Q_n b_n = K_B, \; K_B \in R</math><br /><br />

Rang rešenja sistema<br /><br />

<math>\begin{cases} x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_{n-1} a_{n-1} + x_n a_n = K_A \\ x_1 b_1 + x_2 b_2 + \cdots + x_{n-1} b_{n-1} + x_n b_n = K_B \end{cases}</math><br /><br />

[[categoryKategorija: Geometrija]]

[[categoryKategorija: Algebra]]

[[ar:مستوىمستوي]]