Wikipedija

Trokut – razlika između verzija

Interaktivna pretraga historije
← Starija izmjenaNovija izmjena →
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
VizualnoWikitekst
m Vraćene izmjene 188.2.154.48 (razgovor) na posljednju izmjenu korisnika Kolega2357
Nema sažetka izmjene
Red 1:
[[Datoteka:Trokut (trigonometrija).svg|right|frame|Pravokutni trokut]]
'''Trokut''' ili '''trougao''' je zatvoren [[geometrijski lik]] koji ima tri kuta i tri stranice.
{{dz}}
Zbir unutrasnjih uglova (kutova) u trouglu (trokutu) iznosi 180 stepeni.
'''Trokut''' je [[geometrijski lik]] koji ima 3 [[stranica (geometrija)|stranice]], 3 [[kut]]a i 3 [[vrh (geometrija)|vrha]].
__TOC__
[[Datoteka:Triangle.Isosceles.svg|thumb|left|156px|Jednakokračan trokut]]
[[Datoteka:Triangle.Equilateral.svg|thumb|right|266px|[[Jednakostranični trokut]]]]
 
==Vrste==
Tri nekolinearne tačke čine trougaonu liniju.
 
Trokute prema vrsti kutova dijelimo na: pravokutne, šiljastokutne i tupokutne.
'''Definicija 1'''
 
* '''Pravokutan''' trokut ima jedan [[pravi kut]].
Trougao je određen tačkama A , B, C, je presjek poluravni AB.C, AC.B; i BC.A. tačke A, B, C su vrhovi trougla, a Duži AB, BC i AC njegove stranice .Označavamo ga sa ∆ABC; ∆BCA; ∆CAB; itd
 
* '''Šiljastokutan''' trokut ima sve kutove šiljaste.
'''Definicija 2'''
 
* '''Tupokutan''' trokut ima jedan tupi kut.
[[Ugao]] trougla u datom vrhu je je konveksan ugao, a kraci mu prolaze kroz susjedne vrhove.
 
Trokuti se dijele i prema vrstama stranica: raznostranični, jednakostranični te jednakokračni.
'''Definicija 3'''
 
* '''Raznostraničan''' trokut je onaj trokut kome su sve stranice različitih duljina.
Ugao koji je naporedni ugao trougla u jednom vrhu nazivamo vanjski ugao trougla u tom vrhu.
 
* '''[[Jednakostranični trokut|Jednakostranični]]''' trokut je onaj kome su sve stranice istih dužina.
Presjek dva ili više konveksnih skupova je konveksni skup . kako je trougao presjek tri poluravni, koje su konveksni skupovi, to je i trougao konveksan skup. Tačke ove ovog skupa su unutrašnje tačke trougla.Vanjska oblast trougla isto kao i kod ugla nije konvekan skup.
 
* '''Jednakokračni''' trokut je onaj kome su dvije stranice istih duljina, i te stranice se nazivaju krakovi, dok je treća stranica (osnovica) različite duljine od duljine kraka.
== Orjentacija trougla ==
 
==Svojstva==
Vrhove trougla nožemo uzeti u bilo kom poretku ABC, BCA,CAB;... U nekim sličajevima moramo uzeti u određen poredak. Ako vrhove trougla posmatramo kao uređene trojke kažemo da je trougao orjentisan. Može biti orjentisan na dva načinatj kao ABC ili kao ACB.
 
[[Opseg]], tj. zbroj duljina svih stranica se stoga može računati na tri načina, koristeći se gore navedenim svojstvima:
'''Aksiom 1'''
 
* za jednakostranični trokut: '''3a''', gdje je ''a'' duljina stranice;
Ako su tačke A, B, C nekolinearne onda je AB + BC > AC; BC + AC > AB i AC + AB > BC tj. zbir svake dvije duži veći je od treće duži.
 
* za jednakokračni trokut: '''2a + b''', gdje je ''a'' duljina kraka, a ''b'' duljina osnovice;
'''Teorema 2'''
 
* za raznostranični trokut: '''a + b + c''', gdje su ''a'', ''b'' i ''c'' duljine pojedinih stranica.
Da bi tri tačke bile kolinearne potrebno je i dovoljno da bude AB + BC = AC, BC + AC = BC, ili AC + BC = AB
 
Nadalje se definiraju još dvije karakteristične dužine:
'''Teorema 3'''
 
* ''srednjica trokuta'' je [[dužina]] koja spaja polovišta dviju [[stranica]] trokuta,
Za tri tačke prostor X, Y , Z važi XY + YZ = XZ ili XY + YZ >XZ
 
* ''visina trokuta'' je dužina koja je okomita iz bilo kojeg vrha na njemu suprotnu stranicu.
== Klasifikacija trouglova ==
 
===Površina===
Prema uglovima trouglove dijelimo na:
 
Površina ''P'' se tada računa kao:
* Oštrougle – imaju sve uglove oštre
* Pravougle- imaju jedan ugao pravi tj 90<sup>o</sup>
* Tupougle – imaju jedan ugao tupi ( veći od 90<sup>o</sup>)
 
:<math>P=\frac{a v_a}{2}</math>
Druga podjela
 
gdje je ''a'' stranica, a ''v<sub>a</sub>'' visina nad tom stranicom.<br>
* Pravougli- imaju uvijek jedan ugao prav
* Kosougli – ni jedan ugao nije prav
 
Površinu ''P'' tako možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac):
prema stranicama dijelimo ih na
 
:<math>P=\sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}</math>
* raznostranične- različitih dužina
:<math>P=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}</math>
* jednakokrake – imaju dvije stranice jednake
:<math>P=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}</math>
* istostranične – sve tri stranice jednake
:<math>P=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}</math>
:<math>P=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.</math>
 
gdje je ''s'' poluopseg trokuta; '''s = (a + b + c) / 2'''.
=== Pravougli trougao ===
 
Za površinu trokuta ''P'' vrijede i formule:
Pravougli trougao ima jedan ugao od 90<sup>o</sup>. Stranice ovog trougla koje čine pravi ugao nazivaju se katete, a treća stranica ,koja je i najduža u trouglu je hipotenuza. Katete označavamo sa a,b ; a hipotenuzu sa c.
 
:<math>P = s \cdot r</math>
'''Pitagorina teorema'''
 
:<math>P = \frac{abc}{4R}</math>
Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama.
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>
 
gdje je ''R'' duljina polumjera trokutu opisane kružnice, a ''r'' duljina polumjera trokutu upisane kružnice.
'''Euklidova teorema'''
 
====Površina pravokutnog trokuta====
Kvadrat nad katetom razloživo je jednak pravougaoniku nad hipotenuzom čije su stranice jednake hipotenuzi i projekciji katete nad hipotenuzom
== Podudarnost trouglova ==
Za dva trougla su podudarna ako postoji izometrija koja preslikava prvi trougao u drugi
# Pravilo( SSS) Dva trougla su podudarna ako i samo ako su stranice jednog trougla jednake stranicama drugog .(
# Pravilo( SUS)Dva trougla su podudarna ako i samo ako su dvije stranice jednog trougla i ugao kojeg one čine jednake odgovarajučim stranicama i uglu drugog trougla.
# Pravilo (USU)Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba ugla nalegla na tu stranicu.
# Pravilo (SSU)Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednake dvije odgovarajuće stranice i ugao naspram veće od njih.
 
Površina pravokutnog trokuta se računa prema formuli:
== Osnovni konstruktivni zadaci ==
 
<math>P=\frac{a\cdot b}{2}</math>
# Konstruisati trougao ako su zadane sve tri stranice.
# Konstruisati trougao ako su zadane dvije stranice i ugao kojeg one čine.
# konstruisati trougao ako su zadana stranica i uglovi nalegli na tu stranicu
# Konstruisati trougao ako su zadane dvije stranice iugao naspram veće od njih.
 
U ovoj formuli, ''a'' i ''b'' su ''katete'' pravokutnog trokuta, odnosno stranice trokuta koje zatvaraju pravi kut. Formula se izvodi iz činjenice da stranice pravokutnika s jednom dijagonalom pravokutnika čine pravokutan trokut, gdje su stranice pravokutnika katete pravokutnog trokuta, a dijagonala pravokutnika ''hipotenuza'' pravokutnog trokuta. Na taj način od jednog pravokutnika dobivamo dva sukladna pravokutna trokuta, pa je i površina dobivenog trokuta dva puta manja od površine pravokutnika, koja iznosi ''ab''.
== Određenost trougla ==
Trougao je određen ako je:
# date dvije stranice i ugao između njih
# stranica i nalegli uglovi na nju
# sve tri stranice.
 
===Kutovi===
Trougao nije određen sa sva tri ugla.
Svojstvo [[kut]]ova trokuta je da se nasuprot većoj stranici nalazi veći kut, a nasuprot manjoj stranici se nalazi manji kut. Zahvaljujući tom svojstvu
možemo zaključiti puno o trokutima. Npr., kod jednakostraničnog trokuta imamo i sve jednake kutove 60°, kod jednakokračnog trokuta imamo 2 jednaka i 1 različit kut,
a kod raznostraničnog trokuta imamo tri različita kuta.
Zbroj sva tri unutarnja kuta u trokutu uvijek iznosi '''α + β + γ = 180°'''.
Zahvaljujući ovom svojstvu trokuta možemo riješiti neke zadatke, primjerice:
Ako je: α=60°, β=80°, γ=?
Primjećujemo da se u zadatku traži treći kut, tj. γ. Ovaj ćemo zadatak riješiti koristeći svojstvo kutova, pa ćemo dobiti:
α + β + γ = 180°, iz čega uvrštavanjem proizlazi:
60° + 80° + γ = 180°. Dolazimo na rješavanje linearne jednadžbe,pa iz toga slijedi: γ = 180° - 60° - 80°, a odatle slijedi da je γ = 40°.
 
Zbroj sva tri vanjska kuta u trokutu uvijek iznosi '''α<sub>1</sub> + β<sub>1</sub> + γ<sub>1</sub> = 360°'''. Prema pravilu zbroja kutova u trokutu vrijedi ''α<sub>1</sub> = β + γ'', ''β<sub>1</sub> = α + γ'', te ''γ<sub>1</sub> = α + β''.
Pravougli trougao određen je sa:
 
[[File:Triangle.EulerLine.svg|thumb|right|297px|Težišnice trokuta (narančasto), ortocentar (plavo), središte trokutu opisane kružnice (zeleno) te Eulerov pravac (crveno)]]
# Dvije katete
# Katetom i uglom naleglim na nju različitim od pravog ugla.
# Hipotenuzom, uglom uz hipotenuzu i katetom.
# Katetom i uglom naspram te katete.
 
=== Karakteristične točke i pravci trokuta ===
== Nejednačina trougla ==
 
''Težišnica trokuta'' spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice. Tri težišnice sijeku se u točki koja se naziva '''težište trokuta'''. Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u [[omjer]]u 2:1, mjereći od vrha trokuta.<ref name="hren" /> Težište trokuta u omjeru 2:1 dijeli i dužinu koja spaja ortocentar i središte trokutu opisane kružnice, mjereći od ortocentra.
Ako stranice trougla AB, BC, CA označimo sa a, b, c ionda imamo a + b >c ; a + c > b i b + c > a.
 
'''[[Ortocentar]]''' je sjecište visina trokuta.
'''Teorema 4'''
 
'''Središte trokutu upisane kružnice''' sjecište je simetrala unutarnjih [[kut]]ova trokuta. Simetrale dvaju vanjskih kutova pri dvama vrhovima i simetrala unutarnjega kuta pri trećem vrhu trokuta sijeku se u ''središtu trokutu pripisane kružnice''.<ref name="hren" />
Svaka stranica trougla veća je od razlike a manja od zbira druge dvije stranice,
 
'''Središte trokutu opisane kružnice''' je sjecište [[simetrala dužine|simetrala stranica]] trokuta. Ako je trokut šiljastokutan, ono se nalazi unutar trokuta. Ako je trokut pravokutan, ono se nalazi na [[polovište|polovištu]] hipotenuze. Ako pak je trokut tupokutan, ono se nalazi izvan trokuta.
│a - b│< c < a + b.
 
'''Eulerov pravac''' je [[pravac]] na kojemu leže tri središta trokuta: težište, središte opisane kružnice i ortocentar. Jednoznačno je određen za svaki trokut osim jednakostraničnoga.<ref name="hren">{{citiranje weba|url=http://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=62433|work=Hrvatska enciklopedija|title=Trokut|publisher=Leksikografski zavod Miroslav Krleža|accessdate=31. srpnja 2016.}}</ref> Središte trokutu upisane kružnice nikad ne leži na Eulerovom pravcu, osim ako je trokut jednakokračan ili jednakostraničan.<ref>{{citiranje weba|url=https://www.youtube.com/watch?v=wVH4MS6v23U|title=Triangles have a Magic Highway - Numberphile|language=engleski|publisher=[[YouTube]]}}</ref>
 
'''[[Feuerbachova kružnica]]''' prolazi kroz nožišta visina, polovišta stranica i polovišta dužina vrh-ortocentar.
== Značajne tačke trougla ==
 
'''Symmedijana''' je pravac osnosimetričan na težišnicu s obzirom na simetralu odgovarajućeg kuta. Sve tri symmedijane sijeku se u Lemoinovoj točki.
''' Definicija 4 '''
 
==== Simsonov pravac ====
Za kružnicu koja prolazi kroz sve [[ugao|uglove]]. trougla kažemo da je opisana oko trougla, a za trougao da je upisan u tu [[kružnica|kružnicu]].
Ako se iz neke točke na trokutu opisanoj kružnici spuste visine na stranice, nožišta tih visina su kolinearna, za njih se kaže da leže na Simsonovom pravcu.
 
== Sukladnost ==
'''Teorema 5'''
 
Dva ili više trokuta mogu biti [[sukladnost (geometrija)|sukladni]]. Ukoliko se iz jednog trokuta [[translacija|translacijom]], [[vrtnja|rotacijom]] i [[refleksija (matematika)|refleksijom]] može dobiti drugi, oni su sukladni.
Simetrale sve tri stranice trougla sijeku se u jednoj tački koja je centar opisane kružnice.
 
Sukladnost (jednakost) se dokazuje poučcima o sukladnosti:
'''Teorema 6'''
 
* '''S-S-S''', tj. stranica-stranica-stranica. Trokuti su, po tom poučku, sukladni ako se podudaraju u tri stranice, tj. ako imaju tri jednake stranice.
# Simetrala osnovice istostraničnog trougla prolazi kroz vrh trougla, ona je i simetrala ugla pri vrhu tog trougla.
* '''K-S-K''', tj. kut-stranica-kut.
# Prava koja prolazi kroz vrh istostraničnog trougla i ima jednu od osobina.
* '''S-K-S''', tj. stranica-kut-stranica.
## Normalna je na osnovicu
* '''S-S-K''', tj. stranica-stranica-kut nasuprot većoj stranici.
## polovi osnovicu
simetrala ugla u tom vrhu, i poklapa se sa simetralom trougla.
 
== Sličnost ==
Svaki ugao ima tačno jednu simetralu.
[[Poluoprava]] l ugla koja sa kracima datog ugla čini jednake uglove naziva se simetrala (bisektrisa) ugla.
 
Dva ili više trokuta mogu biti '''slični'''. Slični trokuti imaju jednake kuteve te im se sve stranice odnose u istom omjeru:
Odsječak simetrale jednog ugla trougla je odsječak te simetrale od vrha ugla do presjeka simetrale sa stranicom nasuprot tom vrhu.
 
<math>a_1 : a'_1 = a_2 : a'_2 = a_3 : a'_3 = k</math>
Za kružnicu koja dodiruje stranice trougla kažemo da je upisana , a za trougao da je tangentni.
 
Površine im se odnose kao:
'''Teorema 8'''
 
<math>P : P ' = k^2</math>
Simetrale sva tri ugla sijeku se u jednoj tački koja je centar upisane kružnice.
 
Ako su dva trokuta slična, tada se iz jednoga translacijom, rotacijom, refleksijom i [[skaliranje]]m može dobiti drugi.
Za proizvoljne dvije stranice trougla i naspramne uglove važi:
a < b ili a ≥ b odnosno α < β ili α ≥ β.
 
=== Poučci o sličnosti trokuta ===
'''Teorema 9'''
Sličnost se dokazuje poučcima o sličnosti:
 
* S-S-S, tj. stranica — stranica — stranica. Prema tom poučku, trokuti su slični ako im se sve odgovarajuće stranice odnose u istom omjeru.
Za dvije duži AC i BC sa zajednićkim početkom u C i njihove projekcije AM i BM na pravu AB na kojoj leže druga dva kraja duži važi:
* S-K-S, tj. stranica — kut — stranica. Prema tom poučku, trokuti su slični ako im se jedan par odgovarajućih stranica odnosi u istom omjeru, te im je kut između tih stranica jednak.
* K-K, tj. kut — kut. Prema tom poučku, trokuti su slični ukoliko imaju jedan par jednakih kuteva.
 
== Izvori ==
* Jednakim dužima odgovaraju jednake projekcije
{{izvori}}
AC = BC < = > MA = MB
* Manjoj duži odgovara manja projekcija i obrnuto
AC < BC < = > AM < MB
 
== Vidi još ==
AC > BC < = > AM > MB
* [[Jednakostranični trokut]]
 
* [[Kvadrat]]
Uglovi na osnovici istostraničnog trougla su oštri.
* [[Pitagorin poučak]]
 
'''Teorema 10'''
 
Ako je jedan ugao trougla pravi ili tupi onda su druga dva oštra.
 
Za dva trougla koji imaju jednake stranice važi
Nasuprot većeg ugla između tih stanica leži veći ugao
Nasuprot veće treće stranice leži veći ugao
Zbir uglova u trouglu je 180<sup>o</sup>
Vanjski ugao trougla jednak je zbiru druga dva ugla.
 
'''Teorema 11'''
 
Sve tri prave na kojima leže visine trougla sijeku se u jednoj tački '''–ortocentar'''.
 
'''Teorema 12'''
 
Prava koja prolazi kroz sredinu jedne stranice i paralelna je drugoj stranici prolazi kroz sredinu treće stranice. [[Duž]] koja spaja sredine dviju stranica trougla paralelna je trećoj i jednaka njenoj polovini. Ovo je srednja duž trougla.
 
'''Teorema 13'''
 
Sve tri težišnice prolaze kroz jednu tačku – '''težište'''. Težište dijeli težišnicu u razmjeri 2 : 1.
 
Težišnica je prava koja prolazi kroz vrh trougla i sredinu naspramne stranice.
 
{{Commonscat|Triangles}}
Linija 182 ⟶ 151:
 
[[Kategorija:Geometrija]]
[[Kategorija:Geometrijski likovi]]
Izvor: https://sh.wikipedia.org/wiki/Trokut