[[Datoteka:Clock_group.svg|thumb|desno|300px|Ova slika ilustruje kako sati na časovniku formiraju grupu.]]
U [[apstraktna algebra|apstraktnoj algebri]], '''grupa''' je [[skup]] sa [[binarna operacija|binarnom operacijom]], koji zadovoljava određene aksiome, navedene niže. Na primer, skup [[ceo broj|celih brojeva]] sa [[sabiranje]]m je grupa. Grana matematike koja proučava grupe je [[teorija grupa]].
Mnoge strukture kojima se matematika bavi su u stvari grupe. Među njima su poznati brojevni sistemi, kao što su celi brojevi, [[racionalni broj]]evi, [[realan broj|realni brojevi]], i [[kompleksan broj|kompleksni brojevi]] pod sabiranje, kao i racionalni brojevi različiti od nule, realni brojevi i kompleksni brojevi pod [[množenje]]m. Drugi važni primeri su grupe ne-singularnih [[matrica (matematika)|matrica]] pod množenjem, i grupa [[inverzna funkcija|invertibilnih funkcija]] pod slaganjem funkcija. Teorija grupa omogućava da se svojstva ovakvih struktura izučavaju u opštim slučajevima.
Teorija grupa ima široku primenu u matematici i drugim prirodnim naukama. Mnoge [[algebarska struktura|algebarske strukture]], kao što su [[polje (algebra)|polja]] i [[vektorski prostor]]i mogu koncizno da se definišu u terminima grupa, i teorija grupa pruža važne alate za proučavanje [[simetrija|simetrije]], jer simetrije svakog objekta grade grupu. Grupe su stoga ključne apstrakcije u granama fizike koje se tiču principa simetrije, kao što su [[teorija relativnosti|teorija relativiteta]], [[kvantna mehanika]], i [[fizika čestica]]. Štaviše, njihova mogućnost da predstave [[geometrija|geometrijske]] transformacije im donosi primenu u [[kemija|hemiji]], [[računarstvo|računarstvu]], i drugim oblastima.
== Definicije ==
Grupa (G, *) je [[skup]] G sa binarnom operacijom *, koja zadovoljava sledeće četiri [[aksiom]]e:
