Razlike između izmjena na stranici "Tetraedar"

Dodano 6.713 bajtova ,  prije 4 godine
nema sažetka uređivanja
m/м (Bot: promijenjeno Kategorija:Geometrijska tela u Kategorija:Geometrijska tijela)
|-
|}
==Pregled==
[[Datoteka:Tetrahedron.gif|okvir|Tetraedar]]
Tetraedar je trodimenzijski slučaj općeg koncepta [[Euklidska geometrija|euklidskog]] [[simpleks]]a.
To je jedan od oblika [[piramida (geometrija)|piramida]], koji je poliedar s ravnom [[poligon]]skom bazom i trokutastoim licem koje povezuje bazu za zajedničkom tjemenom tačkom. U slučaju kada je tetraedarska baza trougao (bilo koje od četiri lica može se smatrati bazom), takav tetraedar je također poznat kao "trouglasta piramida''
 
Kao i svi [[konveksni poliedar|konveksni poliedri]], tetraedar može biti sastavljen iz jednog lista papira. On ima takvu [[mreža (poliedar)|mrežu]].<Ref name = "MW" />
 
Milo koji tetraedar ima sferu (zvanu [[cirkumsfera]]) na kojoj leže sva četiri i drugu sferu ([[insfera]]), koja je [[tangenta]] površina tetraedra.
 
== Pravilni tetraedar ==
'''Pravilni tetraedar''' je onaj u kojem su sva četiri lica su [[istostranični trougao|istostrani trouglovi]]. To je jedan od pet pravilnih [[platonska čvrsta tvar|platonskih čvrstih tvari]], koje su poznate od davnina.
 
Kod pravilnog tetraedra, ne samo da su sve njegove strane iste veličine i oblika (podudarne), nego su takvi i sve njegovi vrhova i rubovi.
 
[[Datoteka:Tetrahedrons cannot fill space..PNG|thumb|300px|Ploha sa pet tetraedra, sa najvišim 3-dimenzijskim tačkama označenim kao 1, 2, 3, 4, i 5. <br>Ove tačke se zatim međusobno vezane, a tanak volumen praznog prostora je lijevo gdje se pet rubnih uglova ne susreću u potpunosti.]]
 
Pravilni tetraedra nije samo popunjen prostor, nego ako je naizmeničan sa [[pravilni oktaedar |pravilnim oktaedrom]], oni čine [[naizmenično kubno saće]], koji je prazan.
 
Tetraedar je samo-dualan, što znači da je njegov [[Dualni poliedar|dvojnik]] drugi tetraedar. [[poliedarski spoj |Spoj]] slika sastoji se od dva takva dualna tetraedra koji formiraju [[zvjezdasti oktaedar]] ili zvjezdasti oktaugao.
 
==Tretraedarske formula==
Slijedeće [[Dekart]]ove koordinate definiraju četiri tjemena tetraedra dužine ruba 2, centrirana prema porijeklu:
:<math>\left(\pm 1, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \quad \mbox{and} \quad \left(0, \pm 1, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)</math>
 
Drugi set koordinata se zasniva na [[Alternacija (geometrija)|naizmeničnoj]] [[kocka|kocki]] ili '''demikubu''' dužine ruba 2. Ovaj oblik ima [[Coxeterov dijagram]] 4x3 i [[Schläfli simbol]] h {4,3}. Tetraedar u ovom slučaju ima dužinu ruba 2. Invertiranje ove koordinate generira dualni tetraedar i taj par zajedno formira zvjezdasti oktaedar, čija tjemena su one originalne kocke
.
:Tetraedar: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)
:Dualni tetraedar: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)
 
[[Datoteka:Вписанный тетраэдр.svg|thumb|right|300px|Pravilni tetraedar ABCD i njegova kružna sfera]]
Za tetraedra dužine ruba ''a'':
{|class="wikitable"
|width=300|Površina lica
|align=center|<math>A_0=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\,</math>
|-
|[[površina (matematika)|Površinsko područje]]<ref name="Cox">Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, Harold Scott MacDonald; ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', Methuen and Co., 1948, Table I(i)</ref>
|align=center|<math>A=4\,A_0={\sqrt{3}}a^2\,</math>
|-
|Visina piramide<ref>Köller, Jürgen, [http://www.mathematische-basteleien.de/tetrahedron.htm "Tetrahedron"], Mathematische Basteleien, 2001</ref>
|align=center|<math>h=\frac{\sqrt{6}}{3}a=\sqrt{\frac23}\,a\,</math>
|-
|Rubovi suprotne rubne distance
|align=center|<math>l=\frac{1}{\sqrt{2}}\,a\,</math>
|-
|a[Volumen]]<ref name="Cox" />
|align=center|<math>V=\frac13 A_0h =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}\,</math>
|-
|Ugao lice-tjeme-rub
|align=center|<math>\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \arctan\left(\sqrt{2}\right)\,</math><br>(približno 54,7356°)
|-
|[[Tabela uglova poliedarskih diedara|Ugao lice-rub-lice]], tj. "diedarski ugao"<ref name="Cox" />
|align=center|<math>\arccos\left(\frac13\right) = \arctan\left(2\sqrt{2}\right)\,</math><br>(približno 70,5288°
|-
|[[Molekularna geometrija tetraedra|Centralni rubni ugao]],<ref>[http://maze5.net/?page_id=367 "Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron"], Maze5.net</ref><ref name="pubs.acs.org">[http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ed022p145?journalCode=jceda8 Valence Angle of the Tetrahedral Carbon Atom] W.E. Brittin, J. Chem. Educ., 1945, 22 (3), p 145</ref> poznat kao ''tetraedarski ugao''
|align=center|<math>\arccos\left(-\frac13\right ) = 2\arctan\left(\sqrt{2}\right)\,</math><br>(approx. 109.4712°)
|-
|[[Čvrsti ugao]] na tjemenu naspram lica
|align=center|<math>\arccos\left(\frac{23}{27}\right)</math><br>(približno 0,55129 [[steradijan]]a)
|-
|Radijus [[cirkumsfera|cirkumsfere]]<ref name="Cox" />
|align=center|<math>R=\frac{\sqrt{6}}{4}a=\sqrt{\frac38}\,a\,</math>
|-
|Radijus [[insfera|insfere]] koji je tangenta lica<ref name="Cox" />
|align=center|<math>r=\frac13R=\frac{a}{\sqrt{24}}\,</math>
|-
|Radijus [[srednja sfera|srednje sfere]] koja je tangenta rubovima<ref name="Cox" />
|align=center|<math>r_\mathrm{M}=\sqrt{rR}=\frac{a}{\sqrt{8}}\,</math>
|-
|Radijus [[Eksfera (poliedar)|eksfera]]
|align=center|<math>r_\mathrm{E}=\frac{a}{\sqrt{6}}\,</math>
|-
|Distanca od centra eksfere do suprotnog tjemena
|align=center|<math>d_\mathrm{VE}=\frac{\sqrt{6}}{2}a={\sqrt{\frac32}}a\,</math>
|}
 
U odnosu na baznu ravni [[nagib]] lica (2{{sqrt|2}}) je dva puta veći od ivice ({{sqrt|2}}), što odgovara činjenici da je ''horizontalna'' udaljenost od baze do [[Apeks (geometrija) | apeksa]] duž ivice dva puta veća od [[Medijana (geometrija) | medijane]] lica. Drugim riječima, ako je ''C'' [[težište]] baze, udaljenost od ''C'' do tjemena baze je dvostruko veća od centralne tačke ''C'' do ruba baze. To proizlazi iz činjenice da je medijane trougla sijeku svojim težištem i tada dijele svaku od njih u dva segmenta, od kojih je jedan duplo veći, dok drugi dijeli svaku medijanu u omjeru 2 : 1.
 
Za pravilni tetraedar sa stranom dužine ''a'', radijusom ''R'' njegove cirkumsfere i udaljenosti ''d<sub>i</sub>'' iz proizvoljne tačke u 3-dimenzijskom prostoru za njegova četiri tjemena, imamo:<ref>Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum, 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf</ref>
:<math>\begin{align}\frac{d_1^4 + d_2^4 + d_3^4 + d_4^4}{4} + \frac{16R^4}{9}&= \left(\frac{d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2}{4} + \frac{2R^2}{3}\right)^2;\\
4\left(a^4 + d_1^4 + d_2^4 + d_3^4 + d_4^4\right) &= \left(a^2 + d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2\right)^2.\end{align}</math>
 
==Također pogledajte==
*[[Poliedar]]
*[[Kocka]]
 
==Reference==
{{refspisak}}
 
[[Kategorija:Geometrija]]
 
 
 
 
 
Pri tom je ''-{a}-'' dužina ivice tetraedra.