Parnost funkcije – razlika između verzija

U [[Matematika|matematici]], '''parne funkcije''' i '''neparne funkcije''' su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji [[Stepeni red|stepenih redova]] i [[Furijeov red|Furijeovih redova]]. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija ''x''^''n'' je parna funkcija ako je ''n'' paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je ''n'' neparan ceo broj.

 

Neka je ''f''(''x'') [[Realan broj|realna]] funkcija realne promenljive. Onda je ''f'' '''parna''' funkcija ako sledeće jednačine važe za svako ''x'' u domenu funkcije ''f'':

:<math>

Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na ''y'' osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko ''y'' ose.

 

 

Ponovo, neka je ''f''(''x'') [[Realan broj|realna]] funkcija realne promenljive. Onda je ''f'' '''neparna''' funkcija ako sledeće jednačine važe za svako ''x'' u domenu funkcije ''f'':

:<math>

Primeri neparnih fuknicja su ''x'', ''x''³, ''x''⁴, [[Trigonometrijske funkcije|sin]](''x''), i [[Funkcija greške|erf]] (''x'').

 

 

Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak [[Neprekidna funkcija|neprekidnost funkcije]]. Svojstva koja uključuju [[Furijeov red|Furijeove redove]], [[Tejlorov red|Tejlorove redove]], izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.

 

 

*[[Sabiranje|Zbir]] parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli.

*Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.

*Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).

 

*Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.

*Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.

*Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo [[Trigonometrijske funkcije|sinusne]] članove.

 

*Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju [[vektorski prostor]] nad [[Realan broj|realnim brojevima]]. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor ''svih'' realnih funkcija je [[direktna suma]] linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:

:<math>

 

 

*[[Hermitijan funkcija]] za generalizaciju nad kompleksnim brojevima

*[[Tejlorov red]]

*[[Furijeov red]]

 

 

[[bs:Parne i neparne funkcije]]

[[cs:Sudé a liché funkce]]