Funkcija – razlika između verzija
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
Red 45:
Početnu ideju skupova je ubrzo, početkom [[20. vijek|20. veka]], uzdrmao britanski [[matematičar]] i [[filozof]], [[Bertrand Russell|Bertran Rasel]], našavši nekoliko nedoslednosti u [[Kantor]]ovoj teoriji. Danas se te nedoslednosti obično nazivaju ''paradoksima teorije skupova''. Rasel je ukazao na [[paradoks praznog skupa]], koji je razrešen zahtevom da je prazan skup podskup svakog skupa. Njegov drugi paradoks je [[paradoks skupa svih skupova]]. Ideja ''skupa svih skupova'' je kontradiktorna, tako da današnja teorija skupova, jednostavno, ne zahteva postojanje sveobuhvatnog, "univerzalnog skupa".
==Ispitivanje toka funkcije==
Ispitati tok funkcije <math>f(x)</math> znači oidrediti sljedeće
=== Područje definicije ===
Za određivanje područja definicije funkcije <math>f(x)</math> potrebno je poznavati elementarne funkcije
===Parnost ===
Parnost funkcije <math>f(x)</math> provjerava se pomoću definicije:
;Funkcija <math>f(x)</math> je parna ako je <math>f(-x)=f(x)</math> za svaki <math>x\in \mathcal{D}</math>, a neparna ako je <math>f(-x)=-f(x</math>) za svaki <math>x\in \mathcal{D}</math>.
Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak <math>O(0,0)</math>.
;Primjer
<math>\displaystyle x^n, \qquad n\in\mathbb{N}</math>
je parna za <math>n=2k</math> paran, a neparna za <math>n=2k+1</math> neparan pa je:
<math>\displaystyle f(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n=(-1)^n f(x)</math>.
Funkcija <math>\vert x\vert</math> je parna: ako je <math>x>0</math>, tada je <math>-x<0</math> pa vrijedi
<math>\displaystyle \vert-x\vert=-(-x)=x=\vert x\vert</math>
Za <math>x<0</math> je <math>-x>0</math> pa vrijedi
<math>\displaystyle \vert-x\vert=-x=\vert x\vert</math>
=== Periodičnost===
Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije
;Funkcija <math>f(x)</math> je periodična ako postoji broj <math>P\neq 0</math> takav da za svaki <math>x\in \mathcal{D}</math> vrijedi
;<math>\displaystyle f(x+P)=f(x)</math>
Tada mora vrijediti <math>x+P\in\mathcal{D}</math>. Najmanji takav pozitivni broj <math>P</math> osnovni period ili period funkcije <math>f(x)</math>.
Primjeri periodičnih funkcija su [[trigonometrijske funkcije]].
Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.
=== Nula funkcije ===
Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine <math>f(x)=0</math>
=== Asimptote funkcije===
Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i [[L'Hôpitalovo pravilo|L'Hospitalovim pravilo]], ako je potrebno.
Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli <math>(0</math>) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.
Prava <math>x=x_0</math> je vertikalna asimptota funkcije <math>f(x)</math>u tački
<math>x_0</math> s lijeve strane ako je <math>\lim_{x\to x_0-0}f(x)=+\infty</math> ili
<math>\lim_{x\to x_0-0}f(x)=-\infty</math>.
Prava <math>x=x_0</math> je vertikalna asimptota funkcije <math>f(x)</math> u tacki <math>x_0</math> s desne strane ako je
<math>\lim_{x\to x_0+0}f(x)=+\infty</math> ili
<math>\lim_{x\to x_0+0}f(x)=-\infty</math>.
Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.
;Primjer
<gallery>
Bekesib.JPG|
</gallery>
Prava <math>x=0</math> je vertikalna asimptota funkcije <math>\frac{1}{x}</math> s obje strane.
Prava <math>x=0</math> je vertikalna asimptota funkcija <math>\ln x</math>, <math>\log x</math> i <math>\log_2 x</math> s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.
Prava <math>y=y_0</math> je horizontalna asimptota funkcije <math>f(x)</math> na lijevoj strani ako je <math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0</math>.
Prava <math>y=y_0</math> je horizontalna asimptota funkcije <math>f(x)</math> na desnoj strani ako je <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=y_0</math>.
;Primjer
Prava <math>y=0</math> je horizontalna asimptota funkcije <math>\frac{1}{x}</math> na obje strane, kao i <math>y=0</math> horizontalna asimptota funkcija <math>2^x</math> i <math>e^x</math> na lijevoj strani.
Ako je
<math>\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to -\infty} (f(x)-kx)=l,</math>
pri čemu je
<math>\displaystyle k\neq 0,-\infty,+\infty, \qquad l\neq -\infty,+\infty</math> tada je prava <math>y=kx+l</math> kosa asimptota funkcije <math>f(x)</math> sa lijeve strane.
Kosu asimptotu funkcije <math>f(x)</math> sa desne strane definišemo analogno.
Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je <math>d(M,L)</math>. Prema definiciji asimptote <math>d(M,L)\to 0</math> kada <math>x\to +\infty</math>. Kako je <math>\cos \alpha\neq 0</math> konstanta, zaključujemo da
<math>\displaystyle d(M,L)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to +\infty} \vert f(x)-(kx+l)\vert=0</math>.
Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa
<math>\displaystyle \lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx-l)=0</math> je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.
Gornja jednakost je ekvivalentna sa
<math>\lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx)=l</math>.
<math>\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)-kx-l}{x}=0</math>
pa je
<math> \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=k</math>.
Pri tome treba voditi računa o sljedećem:
#kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada <math>x\to -\infty</math> i kada
#asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu, <math>x\to +\infty</math> uvijek treba računati posebno
#treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada <math>x\to -\infty</math>,
;Primjer
<math>\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}= -\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1</math>.
===Ekstremi funkcije===
Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.
Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi
;Neka je funkcija <math>f(x)</math> neprekidna u tački <math>c</math>. Ako funkcija <math>f(x)</math> ima lokalni ekstrem u tački <math>c</math>, tada je <math>c</math> kritična tačka funkcije <math>f(x)</math>.
Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji
;Neka je funkcija <math>f(x)</math> neprekidna u tački <math>c</math>. Tačka <math>c</math> je stacionarna tačka funkcije <math>f(x)</math> ako je <math>f'(c)=0</math>. Tačka <math>c</math> je kritična tačka funkcije <math>f(x)</math> ako je <math>c</math> stacionarna tačka ili ako <math>f(x)</math> nije diferencijabilna u tački <math>c</math>.
Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda <math>f'(x)</math> i riješiti jednačinu <math>f'(x)=0</math>.
Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:
pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme
;Ako prvi izvod <math>f'(x)</math> mijenja predznak u kritičnoj tački <math>c</math>, tada funkcija <math>f(x)</math> ima lokalni ekstrem u tački <math>c</math>. Pri tome vrijedi sljedeće
;ako <math>f'(x)</math> mijenja predznak sa <math>-</math> na <math>+</math>, tada je <math>f(c)</math> lokalni minimum, a ako <math>f'(x)</math> mijenja predznak sa <math>+</math> na <math>-</math>, tada je <math>f(c)</math> lokalni maksimum.
pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme
;Neka je u stacionarnoj tački <math>c</math> funkcija <math>f(x)</math> dva puta diferencijabilna. Ako je <math>f''(c)\neq 0</math>, tada funkcija <math>fx)</math> ima lokalni ekstrem u tacki <math>c</math>. Pri tome vrijedi sljedeće
;ako je <math>f''(c)>0</math>, tada je <math>f(c)</math> lokalni minimum, a ako je <math>f''(c)<0</math>, tada je <math>f(c)</math> lokalni maksimum.
pomoću viših izvoda na osnovu teoreme
;Neka funkcija <math>f(x)</math> ima u nekoj <math>\varepsilon</math> -okolini tačke <nowiki>c</nowiki> neprekidnog izvoda do uključivo reda <math>n</math>, pri čemu je <math>n\geq 3</math>.
;Neka je <math>\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.</math>
;Ako je <math>n</math> neparan, tada funkcija <math>f(x)</math> ima infleksiju u tački <math>c</math>. Ako je <math>n</math> paran i ako je uz to još i <math>f'(c)=0</math>, tada funkcija <math>f(x)</math> ima lokalni ekstrem u tački <math>c</math> i to minimum za <math>f^{(n)}(c)>0</math> i maksimum za <math>f^{(n)}(c)<0</math>.
===Intervali monotonosti===
Posto smo načli prvi izvod <math>f'(x)</math> funkcije <math>f(x)</math> intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od <math>f'(x)</math> na osnovu teoreme
;Neka je funkcija <math>f(x)</math> diferencijabilna na intervalu <math>(a,b)</math>. Tada vrijedi
;#funkcija <math>f(x)</math> je rastuća na intervalu <math>(a,b)</math> ako i samo ako je <math>f'(x)\geq 0</math> za svaki <math>x\in(a,b)</math>
;#Funkcija <math>f(x)</math> je opadajuća na intervalu <math>(a,b)</math> ako i samo ako je <math>f'(x)\leq 0</math> za svaki <math>x\in(a,b)</math>
;#Ako je <math>f'(x)>0</math> za svaki <math>x\in(a,b)</math>, tada je funkcija <math>f(x)</math> strogo rastuća na intervalu <math>(a,b</math>
;#Ako je <math>f'(x)<0</math> za svaki <math>x\in(a,b)</math>, tada je funkcija <math>f(x)</math> strogo opadajuća na intervalu <math>(a,b)</math>.
===Konkavnost i konveksnost funkcije===
Potrebno je odrediti drugi izvod <math>f''(x)</math>,a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme
;Neka je funkcija <math>f(x)</math> dva puta deiferencijabilna na intervalu <math>(a,b)</math>. Ako je <math>f''(x)>0</math> za svaki <math>x\in(a,b)</math>, tada je funkcija <math>f(x)</math> strogo konveksna na intervalu <math>(a,b)</math>. Ako je <math>f''(x)<0</math> za svaki <math>x\in(a,b)</math>, tada je funkcija <math>f(x)</math> strogo konkavna na intervalu <math>(a,b)</math>.
===Tačke infleksije===
Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod <math>f''(x)$</math> mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi
;Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj <math>\varepsilon</math> -okolini tačke <math>c</math>, osim možda u tački <math>c</math>. Ako <math>f''(x)</math> mijenja predznak u tački <math>c</math>, tada funkcija <math>f(x)</math> ima infleksiju u tački <math>c</math>.
Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme
;Neka funkcija <math>f(x)</math> ima u nekoj <math>\varepsilon</math> - okolini tačke <math>c</math> neprekidne izvode do uključivo reda <math>n</math>, pri čemu je <math>n\geq 3</math>. Neka je
;<math>\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.</math>
;Ako je <math>n</math> neparan, tada funkcija <math>f(x)</math> ima infleksiju u tački <math>c</math>.
;Ako je <math>n</math> paran i ako je uz to još i <math>f'(c)=0</math>, tada funkcija <math>f(x)</math> ima lokalni ekstrem u tacki <math>c</math> i to minimum za <math>f^{(n)}(c)>0</math> i maksimum za <math>f^{(n)}(c)<0</math>.
U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod <math>f''(x)</math> jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi
;Ako funkcija <math>f(x)</math> ima infleksiju u tački <math>c</math> i ako <math>f''(c)</math> postoji, tada je <math>f''(c)=0</math>.
===Graf funkcije===
Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.
== Eksterni linkovi ==
| |||